Problema a fost propusa de Vasile Trofin, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

Soluţii corecte: George Teseleanu, Zoltan Szabo, Ionel-Vasile Pit-Rada, Aurel Ionescu,  Viorel Manta, Nicu Scutaru, Stefan Gatachiu, Emil Cladiu Man.

 

Soltan Szabo:

Căutăm soluție pentru ecuația

aⁿ=4k+2

Cazul 1: a este numar impar

Dacă a este număr impar, atunci aⁿ este impar, dar 4k+2 este par, este contradictie

Cazul 2: a este numar par

 În acest caz există un cel mai mare divizor al lui a care este puterea lui 2. Astfel a=2^p*b, unde b este număr impar.

Obținem ecuația:

(2^p*b)ⁿ=4k+2

2^pn*bⁿ-2=4k      simplificând ecuația cu 2 obținem:

2^pn-1*bⁿ - 1 = 2k

în partea stânga avem un număr impar, iar în partea dreaptă un număr par. Contradicție 

Alte cazuri nu există, deci ecuația nu are soluție. 

În consecință nu există numere de forma 4k+2 care să fie puterea unui număr natural. 

 

Ionel-Vasile Pit-Rada:

Sa presupunem, prin reducere la absurd, ca exista n>=2 si k si p si are loc relatia p^n = 4*k+2, (1)

p^n=2*(2*k+1)

Daca descompunem in factori primi puterea p^n, atunci, deoarece puterea este numar par, ea are factor prim pe 2 si la un exponent >=2

In continuare, dupa ce impartim relatia (1) prin 2 rezulta ca 2*k+1 este numar par, ABSURD

Deci nu poate exista tripletul (n,p,k) astfel incat relatia (1) sa aiba loc.

q.e.d.

 

Aurel Ionescu:

4k+2=2*(2k+1) - este produs dintre 2 (numar prim si par) si un numar impar. Cum numarul impar nu va putea forma niciodata cu 2 un numar la o putere mai mare ca 1, numarul nostru nu poate fi puterea niciunui numar.