Problema a fost propusa de Zoltan Szabo, care a primit punctajul aferent acesteia (15 puncte). Multumim pentru propunere!
Soluţii corecte: Vasile Trofin, Ionel-Vasile Pit-Rada.
Vasile Trofin:
Din definiție , cifrele romane sunt 7 la număr , respectiv. I,V,X,L,C,D,M . Toate numerele se formează prin asocieri ale acestor cifre. Numărul acestor cifre va fi identificat pentru toate numerele arabe , de la 1 la 2020.
Pentru a identifica numărul cifrelor romane pentru toate cele 2020 de numere arabe , se împarte intervalul 1 la 2020 în trei subintervale : 1 la 999 ; 1000 la 1999 și 2000 la 2020.
Respectând modul și regulile de transformare a numerelor arabe din intervalul 1-99 în numere romane , numerele romane corespunzătoare au în total 400 de cifre care , defalcat pe cifre reprezintă : 10 cifre C , 50 de cifre L , 150 de cifre X , 50 de cifre L și 140 de cifre I. Numărul total de cifre romane din intervalul 1-99 se folosește la transformarea celorlalte numere arabe de 100 la 2020.
Avându-se în vedere regulile de scriere a numerelor romane , situația centralizată este prezentată în tabelul de mai jos.
INERVALE NUMERE ARABE |
CIFRE ROMANE |
NUMĂRUL DE CIFRE ROMANE |
||||||
M |
D |
C |
I ,V, X,L,C |
X |
V |
I |
||
1 - 99 |
|
|
|
400 |
|
|
|
400 |
100-199 |
|
|
100 |
400 |
|
|
|
500 |
200-299 |
|
|
200 |
400 |
|
|
|
600 |
300-399 |
|
|
300 |
400 |
|
|
|
700 |
400-499 |
|
100 |
100 |
400 |
|
|
|
600 |
500-599 |
|
100 |
|
400 |
|
|
|
500 |
600-699 |
|
100 |
100 |
400 |
|
|
|
600 |
700-799 |
|
100 |
200 |
400 |
|
|
|
700 |
800-899 |
|
100 |
300 |
400 |
|
|
|
800 |
900-999 |
100 |
|
100 |
400 |
|
|
|
600 |
1000-1099 |
100 |
|
|
400 |
|
|
|
500 |
1100-1199 |
100 |
|
100 |
400 |
|
|
|
600 |
1200-1299 |
100 |
|
200 |
400 |
|
|
|
700 |
1300-1399 |
100 |
|
300 |
400 |
|
|
|
800 |
1400-1499 |
100 |
100 |
100 |
400 |
|
|
|
700 |
1500-1599 |
100 |
100 |
|
400 |
|
|
|
600 |
1600-1699 |
100 |
100 |
100 |
400 |
|
|
|
700 |
1700-1799 |
100 |
100 |
200 |
400 |
|
|
|
800 |
1800-1899 |
100 |
100 |
300 |
400 |
|
|
|
900 |
1900-1999 |
200 |
|
100 |
400 |
|
|
|
700 |
2000-2009 |
20 |
|
|
|
1 |
5 |
14 |
40 |
2010-2019 |
20 |
|
|
|
11 |
5 |
14 |
50 |
2020 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
4 |
NUMĂRUL DE CIFRE ROMANE |
1242 |
1000 |
2800 |
8000 |
14 |
10 |
28 |
13094 |
Așadar , numerele naturale de la 1 la 2020 reprezentate cu cifrele romane I,V,X,L,C,D,M totalizează 13094 de cifre romane.
Ecuația generală este:
N= S1+S2 +S3 , unde
S1= 100(M) +500(D)+1400(C) + 10(S) , pentru numerele 1 la 999;
S2= 1100(M)+500(D)+1400(C) +10(S), pentru numerele 1000 la 1999;
S3= 42(M)+14(X) + 10(V)+28(I)), pentru numerele 2000 la 2020;
S= 10(C) + 50(L)+150(X) + 50(V)+140(I) pentru numerele 1 la 99 .
Cifrele 1 la 9 au 1(X)+5(V)+14(I)=20 cifre romane.
Prin insumare se obține :
N= 1242(M) + 1000(D) + 3000(C) +1000(L)+3014(X) + 1010(V)+ 2828(I)=13094 cifre romane.
Ionel-Vasile Pit-Rada:
Am utilizat aplicatia Excel. Am completat p coloana A primele 2020 celule cu valorile 1,2,3,...,2020.
In coloana B am utilizat functia ROMAN() si am determinat scrierea corespunzatoare numerelor din coloana A.
In coloana C am utilizat functia LEN() si am determinat lungimile sirurilor de caractere reprezentand scrierile romane.
Apoi am calculat suma lungimilor si am obtinut ca la scrierea primelor 2020 numere naturale nenule se folosesc 13094 cifre romane.