Problema a fost propusa de Zoltan Szabo, care a primit punctajul aferent acesteia (15 puncte). Multumim pentru propunere!

Soluţii corecte: Vasile Trofin, Ionel-Vasile Pit-Rada.

 

Vasile Trofin:

Din definiție , cifrele romane sunt 7 la număr , respectiv. I,V,X,L,C,D,M . Toate numerele se formează prin asocieri ale acestor cifre. Numărul acestor cifre va fi identificat pentru toate numerele arabe , de la 1 la 2020.

Pentru a identifica numărul cifrelor romane pentru toate cele 2020 de numere arabe ,  se împarte intervalul 1 la 2020 în trei subintervale : 1 la 999 ; 1000 la 1999 și 2000 la 2020.

Respectând modul și regulile de transformare  a numerelor arabe din intervalul 1-99  în numere romane , numerele romane corespunzătoare au în total 400 de cifre care , defalcat pe cifre reprezintă : 10 cifre C , 50 de cifre L , 150 de cifre X , 50 de cifre L și 140 de cifre I.  Numărul total  de  cifre romane din intervalul 1-99 se folosește la transformarea celorlalte numere arabe  de 100 la  2020.

Avându-se în vedere regulile de scriere a numerelor romane , situația centralizată este prezentată în tabelul de mai jos. 

INERVALE

NUMERE

ARABE

CIFRE ROMANE

NUMĂRUL DE CIFRE ROMANE

M

D

C

I ,V, X,L,C

X

V

I

1 - 99

 

 

 

400

 

 

 

400

100-199

 

 

100

400

 

 

 

500

200-299

 

 

200

400

 

 

 

600

300-399

 

 

300

400

 

 

 

700

400-499

 

100

100

400

 

 

 

600

500-599

 

100

 

400

 

 

 

500

600-699

 

100

100

400

 

 

 

600

700-799

 

100

200

400

 

 

 

700

800-899

 

100

300

400

 

 

 

800

900-999

100

 

100

400

 

 

 

600

1000-1099

100

 

 

400

 

 

 

500

1100-1199

100

 

100

400

 

 

 

600

1200-1299

100

 

200

400

 

 

 

700

1300-1399

100

 

300

400

 

 

 

800

1400-1499

100

100

100

400

 

 

 

700

1500-1599

100

100

 

400

 

 

 

600

1600-1699

100

100

100

400

 

 

 

700

1700-1799

100

100

200

400

 

 

 

800

1800-1899

100

100

300

400

 

 

 

900

1900-1999

200

 

100

400

 

 

 

700

2000-2009

  20

 

 

 

  1

5

14

  40

2010-2019

  20

 

 

 

11

5

14

  50

2020

    2

 

 

 

  2

 

 

    4

NUMĂRUL DE CIFRE ROMANE

1242

1000

2800

8000

14

10

28

13094

Așadar , numerele naturale de la 1 la 2020 reprezentate cu cifrele romane I,V,X,L,C,D,M  totalizează 13094 de cifre romane.

Ecuația generală este:

N= S1+S2 +S3 , unde

S1= 100(M) +500(D)+1400(C) + 10(S) , pentru numerele 1 la 999;

 S2= 1100(M)+500(D)+1400(C) +10(S), pentru numerele 1000 la 1999;

 S3= 42(M)+14(X) + 10(V)+28(I)), pentru numerele 2000 la 2020;

 S= 10(C) + 50(L)+150(X) + 50(V)+140(I) pentru numerele 1 la 99  .

Cifrele 1 la 9 au 1(X)+5(V)+14(I)=20 cifre romane.

Prin insumare se obține :

N= 1242(M) + 1000(D) + 3000(C) +1000(L)+3014(X) + 1010(V)+ 2828(I)=13094 cifre romane.

 

Ionel-Vasile Pit-Rada:

Am utilizat aplicatia Excel. Am completat p coloana A primele 2020 celule cu valorile 1,2,3,...,2020.

In coloana B am utilizat functia ROMAN() si am determinat scrierea corespunzatoare numerelor din coloana A.

In coloana C am utilizat functia LEN() si am determinat lungimile sirurilor de caractere reprezentand scrierile romane.

Apoi am calculat suma lungimilor si am obtinut ca la scrierea primelor 2020 numere naturale nenule se folosesc 13094 cifre romane.