Problema a fost propusa de Zoltan Szabo, care a primit punctajul aferent acesteia (15 puncte). Multumim pentru propunere!

Soluţii corecte: Vasile Trofin, Ionel-Vasile Pit-Rada.

 

Vasile Trofin:

Din definiție , cifrele romane sunt 7 la număr , respectiv. I,V,X,L,C,D,M . Toate numerele se formează prin asocieri ale acestor cifre. Numărul acestor cifre va fi identificat pentru toate numerele arabe , de la 1 la 2020.

Pentru a identifica numărul cifrelor romane pentru toate cele 2020 de numere arabe ,  se împarte intervalul 1 la 2020 în trei subintervale : 1 la 999 ; 1000 la 1999 și 2000 la 2020.

Respectând modul și regulile de transformare  a numerelor arabe din intervalul 1-99  în numere romane , numerele romane corespunzătoare au în total 400 de cifre care , defalcat pe cifre reprezintă : 10 cifre C , 50 de cifre L , 150 de cifre X , 50 de cifre L și 140 de cifre I.  Numărul total  de  cifre romane din intervalul 1-99 se folosește la transformarea celorlalte numere arabe  de 100 la  2020.

Avându-se în vedere regulile de scriere a numerelor romane , situația centralizată este prezentată în tabelul de mai jos. 

INERVALE NUMERE ARABE	CIFRE ROMANE							NUMĂRUL DE CIFRE ROMANE
	M	D	C	I ,V, X,L,C	X	V	I
1 - 99				400				400
100-199			100	400				500
200-299			200	400				600
300-399			300	400				700
400-499		100	100	400				600
500-599		100		400				500
600-699		100	100	400				600
700-799		100	200	400				700
800-899		100	300	400				800
900-999	100		100	400				600
1000-1099	100			400				500
1100-1199	100		100	400				600
1200-1299	100		200	400				700
1300-1399	100		300	400				800
1400-1499	100	100	100	400				700
1500-1599	100	100		400				600
1600-1699	100	100	100	400				700
1700-1799	100	100	200	400				800
1800-1899	100	100	300	400				900
1900-1999	200		100	400				700
2000-2009	20				1	5	14	40
2010-2019	20				11	5	14	50
2020	2				2			4
NUMĂRUL DE CIFRE ROMANE	1242	1000	2800	8000	14	10	28	13094

Așadar , numerele naturale de la 1 la 2020 reprezentate cu cifrele romane I,V,X,L,C,D,M  totalizează 13094 de cifre romane.

Ecuația generală este:

N= S₁+S₂ +S₃ , unde

S₁= 100(M) +500(D)+1400(C) + 10(S) , pentru numerele 1 la 999;

 S₂= 1100(M)+500(D)+1400(C) +10(S), pentru numerele 1000 la 1999;

 S₃= 42(M)+14(X) + 10(V)+28(I)), pentru numerele 2000 la 2020;

 S= 10(C) + 50(L)+150(X) + 50(V)+140(I) pentru numerele 1 la 99  .

Cifrele 1 la 9 au 1(X)+5(V)+14(I)=20 cifre romane.

Prin insumare se obține :

N= 1242(M) + 1000(D) + 3000(C) +1000(L)+3014(X) + 1010(V)+ 2828(I)=13094 cifre romane.

 

Ionel-Vasile Pit-Rada:

Am utilizat aplicatia Excel. Am completat p coloana A primele 2020 celule cu valorile 1,2,3,...,2020.

In coloana B am utilizat functia ROMAN() si am determinat scrierea corespunzatoare numerelor din coloana A.

In coloana C am utilizat functia LEN() si am determinat lungimile sirurilor de caractere reprezentand scrierile romane.

Apoi am calculat suma lungimilor si am obtinut ca la scrierea primelor 2020 numere naturale nenule se folosesc 13094 cifre romane.