Soluţia 1 (Ady Nicolae):

          Vom nota cu N5, N4, N3, N2, N1 (numere întregi) numărul pietrelor prețioase gasite sub pom de al cincilea, al patrulea, ..., respectiv de primul hoț.

          Cel de-al cincilea hoț va lua (N5-1)/5 + 1 pietre prețioase, iar sub pom va rămâne un număr de pietre divizibil cu 5, conform enunțului problemei.

Deci: N5 – [(N5-1)/5 + 1] = DIV 5 à 4(N5-1)/5 = DIV5 à N5-1 = DIV5 * 5 / 4

Va trebui ca numărul DIV5 * 5/4 să fie un număr întreg.

Rezultă N5 = (DIV5 * 5/4) + 1

          Cel de-al patrulea hoț va lua (N4-1)/5 + 1, iar sub pom vor rămâne N5 pietre.

N4 – [(N4-1)/5 + 1] = N5

N4 – [(N4-1)/5 + 1] = (DIV5 * 5/4) + 1

N4 = [5/4 * (DIV5 * 5/4) + 1] + 1 = (25/16 * DIV5) + 9/4

          Cel de-al treilea hoț va lua (N3-1)/5 + 1, iar sub pom vor rămâne N4 pietre.

N3 - [(N3-1)/5 + 1] = N4

N3 = 5/4 * [(25/16 * DIV5) + 9/4] + 1 = (125/64 * DIV5) + 61/16

          Analog avem:

N2 = 5/4 * [(125/64 * DIV5) + 61/16] + 1 = (625/256 * DIV5) + 369/64

N1 = 5/4 *[(625/256 * DIV5) + 369/64] + 1 = (3125/1024* DIV5) + 2101/256

          Cel mai mic număr DIV5 pentru care N1 este număr întreg este 1020.

          - Aşadar, primul hoț găseşte sub pom:

N1 = (3125/1024* 1020) + 2101/256 = 3121 pietre.

El îşi ia (3121-1)/5 + 1 = 625 de pietre, iar sub pom rămân 2496 pietre.

          - Cel de-al doilea hoț găseşte sub pom N2 = 2496 pietre

El îşi ia (2496-1)/5 + 1 = 500 de pietre, iar sub pom rămân 1996 pietre.

          - Cel de-al treilea hoț găseşte sub pom N3 = 1996 pietre

El îşi ia (1996-1)/5 + 1 = 400 de pietre, iar sub pom rămân 1596 pietre.

          - Cel de-al patrulea hoț găseşte sub pom N4 = 1596 pietre

El îşi ia (1596-1)/5 + 1 = 320 de pietre, iar sub pom rămân 1276 pietre.

          - Cel de-al cincilea hoț găseşte sub pom N4 = 1276 pietre

El îşi ia (1276-1)/5 + 1 = 256 de pietre, iar sub pom rămân 1020 pietre.

Dimineața, hoții împart cele 1020 de pietre în mod egal, 204 fiecare.

Evident, răspunsul problemei este N1 = 3121 pietre prețioase.

          Primul hoț a luat 625+204 = 829 pietre

          Al doilea a luat 500 + 204 = 704 pietre

          Al treilea a luat 400 + 204 = 604 pietre

          Al patrulea a luat 320 + 204 = 524 pietre

          Iar ultimul hoț a luat 256 + 204 = 460 pietre.

          În total 3121 de pietre.

Soluţia 2 (Ştefan Gaţachiu):

Notăm cu x numărul de pietre prețioase ale lui Ali-Baba.

După împărțirea făcută de primul hoț avem  x=5a+1

După împărțirea făcută de al doilea hoț avem 4a=5b+1

După împărțirea făcută de al treilea hoț avem 4b=5c+1

După împărțirea făcută de al patrulea hoț avem 4c=5d+1

După împărțirea făcută de al cincilea hoț avem 4d=5e+1

După împărțirea finală avem 4e=5f

Din ultima egalitate rezultă că e este divizibil cu 5, deci e=5k, k natural.

Înlocuind succesiv necunoscutele „de jos în sus”, se obține

           

Trebuie ca .Cea mai mică valoare a lui k pentru care  este număr natural este k=51, iar x=3121.

Condiția de mai sus se mai scrie 256*l-9k=53, adică o ecuație diofantică, cu soluția particulară k=5*l, l=2..

Atunci soluția generală este de forma

k=51+256m, l=2+9m, unde m este natural.

De exemplu, pentru m=1 se obține soluția k=307, l=11, caz în care x=18746..

Soluţia 3 (Szabo Zoltan):

          Ultima suma ramasa trebuie sa fie divizibila cu 5, pentru se imparte exact la cei 5 hoti.

De asemenea este divizibila cu 4, pentru ca reprezinta patru parti identice dintr-o suma formata din 5 parti +1.

Deci tebuie sa verificam sumele divizibile cu 20, sa recalculam sumele de bani lasate de cei cinci hoti, luand in vedere ca toate celelalte sume repuse de hotii in cauza sunt sume divizibile cu 4.

Am rezolvat problema cu un tabel excel, si am gasit ca solutia cea mai mica este: 3121 = primul hot pastreaza 625 de pietre si mai raman 2496 pietre

          al doilea hot pastreaza 500 de pietre si mai raman 1996 pietre

          al treilea hot pastreaza 400 de pietre si mai raman 1596 pietre

          al patrulea hot pastreaza 320 de pietre si mai raman 1276 pietre

          al cincilea hot pastreaza 256 de pietre si mai raman 1020  pietre

Cele 1020 de pietre se impart in 5 parti egale a cate 204 pietre.

Soluţia nu este unica!  Orice numar de forma 3121+15625*k este o solutie pentru problema (15625 fiind 56).