Problema a fost propusa de Zoltan Szabo, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

Soluţii corecte: Vasile Trofin, Nicu Scutaru, Viorel Manta, Aurel Ionescu, Ionel-Vasile Pit-Rada.

 

Viorel Manta:

     1. DOIx4 = OPT

Conditie D, O diferit de 6 si I, T diferit de 8

Obligatoriu D in {1, 2}; T este par deci din multimea {0, 2, 4, 6}

Analizam pt D=1

     a. T=2

Relatia devine 1OIx4 = OP2, adica (100+10O+I)x4=100O+10P+2

398=100O+10P-40O-4I=60O+10P-4I adica 398+4I=10(6O+P)

Deci I poate fi 3 (8 nu convine) si atunci 398+12=410

Si deci 6O+P=41 cu solutie O=6 si P=5 dar din ipoteza O e diferit de 6 deci nu convine solutia.

     b. T=4

Relatia devine 1OIx4 = OP4, adica (100+10O+I)x4=100O+10P+4

396+4I=60O+10P=10(6O+P)

4I trebuie sa se termine in 4 (pt ca adunat cu 6 sa dea 10) deci I poate fi 1 (nu convine pt ca I ar fi egal cu D) sau I=6 caz in care avem

396+24=10(6O+P) sau 42=6O+P cu solutia O=7 si P=0 ( O=6 si P=6 nu convine pt ca O diferit de 6)

Relatia este 176x4=704 cu D=1, O=7, T=4, I=6 SI P=0

 

     2. SASE/2=TREI cu conditia ca S si T diferit de 6 si E si I diferit de 8

E este un numar par si E

Daca E=6 atunci I poate fi 3 sau 8 (care nu convine)

Pentru I=6 relatia devine

SAS6=2x(TR63) sau

1000S+100A+10S+6=2000T+200R+126 sau

1010S-120=100(20T+2R-A) trebuie ca 1010S-120 sa fie divizibil cu 100

Pentru S=2 avem

2020-120=100(20T+2R-A) sau 1900=100(20T+2R-A) sau

19=20T+2R-A cu solutia T=1 R=4 si A=9 (solutiile in care A=7 sau A=6 nu convin pt ca duc la incalcarea conditiilor initiale)

Relatia este 2926/2=1463 cu S=2, A=9, E=6, T=1, R=4, I=3

 

Vasile Trofin:

Prezint soluța la problema NUMERE ARABE :

- la ecuația DOI*4=OPT , soluția este DOI=176 și OPT=704 ;

- la ecuația SASE/2=TREI , soluția este SASE=2926 și TREI=1463. 

Detalii , în textul de mai jos.

 Ecuațiile fiind independente , se rezolvă fiecare în parte.

1) Ecuația: DOI*4=OPT .

 Se știe :

- numerele nu încep cu cifra 0 ;

- la litere distincte se alocă cifre distincte;

- cifrele D și O nu pot să aibă valoarea 6 iar cifrele I și T nu pot avea valoarea 8 ;

- OPT este un număr par fiindcă îl are pe 4 ca divizor ,deci T este un număr par;

- pentru ca un număr cu trei cifre deînmulțit cu 4 să aibă produsul un număr tot din trei cifre trebuie ca cifra D să aibă valoarea 1 sau 2 iar cifra O de la numărul OPT , implicit cifra O de la DOI  poate avea valorile 4, 5, 7, 8 ,9  .

Cu aceste considerente , se deduc:

  • cifra O are valorile posibile 4,5,7,8,9 ;
  • cifra T are valorile posibile 0 , 2, 4,  6 ;
  • cifra D are valorile posibile 1 , 2 dar , dacă D =2 rezultă că cifra O de la OPT trebuie să fie 8 sau 9 însă acest lucru nu este posibil deoarece dacă cifra O de la DOI este 8 sau 9 atunci  numărul OPT va fi cu 4 cifre , deci D=1 ;
  • cifra I are valorile posibile 0,1,2,3,4,5,6,7,9 ;
  • cifra P are valorile posibile 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Analizând cazurile posibile prin înlocuirea cifrelor cu valorile posibile pe care poate să le aibă , se obține soluția unică :

DOI= 176 , OPT=704 , deci 176*4=704 , unde D=1, O=7, I=6, P=0 și T=4.

2) Ecuația : SASE /2=TREI

Pentru rezolvare se aduce la forma : SASE=TREI*2 sau TREI*2=SASE .

Se știe :

  • numerele nu încep cu cifra 0 ;
  • la litere distincte se alocă cifre distincte;
  • cifrele S și T nu pot să aibă valoarea 6 iar cifrele E și I nu pot avea valoarea 8 ;
  • numărul SASE este un număr par , deci E poate să fie înlocuit cu o cifră pară ;
  • findcă atât numărul TREI cât și numărul SASE au câte 4 cifre , rezultă că cifra care înlocuiește litera S are valoarea minimă 2 iar  litera T poate să fie înlocuită cu cifrele 1,2,3,4.

Cu aceste considerente , cifrele posibile care pot să înlocuiască literele din ecuația dată , sunt :

  • S= 2,3,4,5,7,8,9;
  • A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;
  • E=0,2,4,6;
  • T=1,2,3,4 ;
  • R=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;
  • I=0,1,2,3,4,5,6,7,9.

Soluția se judecă prin prisma valorii cifrelor care se pot aloca literelor I, E ,S și T și din considerentul că la litere distincte se alocă cifre distincte.

Astfel , din toate cazurile posibile , ecuația are soluția unică :

1463*2=2926 , respectiv T=1, R=4 , E=6 , I=3 , S=2, A =9 sau :

SASE=2926 și TREI=1463.