Problema a fost propusa de Zoltan Szabo, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!
Soluţii corecte: Vasile Trofin, Nicu Scutaru, Viorel Manta, Aurel Ionescu, Ionel-Vasile Pit-Rada.
Viorel Manta:
1. DOIx4 = OPT
Conditie D, O diferit de 6 si I, T diferit de 8
Obligatoriu D in {1, 2}; T este par deci din multimea {0, 2, 4, 6}
Analizam pt D=1
a. T=2
Relatia devine 1OIx4 = OP2, adica (100+10O+I)x4=100O+10P+2
398=100O+10P-40O-4I=60O+10P-4I adica 398+4I=10(6O+P)
Deci I poate fi 3 (8 nu convine) si atunci 398+12=410
Si deci 6O+P=41 cu solutie O=6 si P=5 dar din ipoteza O e diferit de 6 deci nu convine solutia.
b. T=4
Relatia devine 1OIx4 = OP4, adica (100+10O+I)x4=100O+10P+4
396+4I=60O+10P=10(6O+P)
4I trebuie sa se termine in 4 (pt ca adunat cu 6 sa dea 10) deci I poate fi 1 (nu convine pt ca I ar fi egal cu D) sau I=6 caz in care avem
396+24=10(6O+P) sau 42=6O+P cu solutia O=7 si P=0 ( O=6 si P=6 nu convine pt ca O diferit de 6)
Relatia este 176x4=704 cu D=1, O=7, T=4, I=6 SI P=0
2. SASE/2=TREI cu conditia ca S si T diferit de 6 si E si I diferit de 8
E este un numar par si E
Daca E=6 atunci I poate fi 3 sau 8 (care nu convine)
Pentru I=6 relatia devine
SAS6=2x(TR63) sau
1000S+100A+10S+6=2000T+200R+126 sau
1010S-120=100(20T+2R-A) trebuie ca 1010S-120 sa fie divizibil cu 100
Pentru S=2 avem
2020-120=100(20T+2R-A) sau 1900=100(20T+2R-A) sau
19=20T+2R-A cu solutia T=1 R=4 si A=9 (solutiile in care A=7 sau A=6 nu convin pt ca duc la incalcarea conditiilor initiale)
Relatia este 2926/2=1463 cu S=2, A=9, E=6, T=1, R=4, I=3
Vasile Trofin:
Prezint soluța la problema NUMERE ARABE :
- la ecuația DOI*4=OPT , soluția este DOI=176 și OPT=704 ;
- la ecuația SASE/2=TREI , soluția este SASE=2926 și TREI=1463.
Detalii , în textul de mai jos.
Ecuațiile fiind independente , se rezolvă fiecare în parte.
1) Ecuația: DOI*4=OPT .
Se știe :
- numerele nu încep cu cifra 0 ;
- la litere distincte se alocă cifre distincte;
- cifrele D și O nu pot să aibă valoarea 6 iar cifrele I și T nu pot avea valoarea 8 ;
- OPT este un număr par fiindcă îl are pe 4 ca divizor ,deci T este un număr par;
- pentru ca un număr cu trei cifre deînmulțit cu 4 să aibă produsul un număr tot din trei cifre trebuie ca cifra D să aibă valoarea 1 sau 2 iar cifra O de la numărul OPT , implicit cifra O de la DOI poate avea valorile 4, 5, 7, 8 ,9 .
Cu aceste considerente , se deduc:
Analizând cazurile posibile prin înlocuirea cifrelor cu valorile posibile pe care poate să le aibă , se obține soluția unică :
DOI= 176 , OPT=704 , deci 176*4=704 , unde D=1, O=7, I=6, P=0 și T=4.
2) Ecuația : SASE /2=TREI
Pentru rezolvare se aduce la forma : SASE=TREI*2 sau TREI*2=SASE .
Se știe :
Cu aceste considerente , cifrele posibile care pot să înlocuiască literele din ecuația dată , sunt :
Soluția se judecă prin prisma valorii cifrelor care se pot aloca literelor I, E ,S și T și din considerentul că la litere distincte se alocă cifre distincte.
Astfel , din toate cazurile posibile , ecuația are soluția unică :
1463*2=2926 , respectiv T=1, R=4 , E=6 , I=3 , S=2, A =9 sau :
SASE=2926 și TREI=1463.