Problema a fost propusa de Vasile Trofin, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

Soluţii corecte: Zoltan Szabo, Nicu Scutaru, Viorel Manta, Ionel-Vasile Pit-Rada, Ady Nicolae, Angela Sandu, Aurel Ionescu.

 

Nicu Scutaru:

Notăm cu litera  a  un număr impar din mulțimea numerelor întregi (Z)

si cu litera k un număr oarecare din aceeași mulțime.

Cerința problemei o putem reprezenta prin relația:

a^2=(2k-3)(2k-1)(2k+1)(2k+3) (1)

După efectuarea calculelor obținem

a^2=16k^4-40k^2+9

Se observă  că pentru k=0,

a^2=9 , adică pătratul unui număr întreg impar, 3.

Pentru  a=3 și k=0 relația (1) devine

3^2=(-3)(-1)(+1)(+3)

Răspuns

Soluția este unica.  Doar pătratul  numărului impar 3, care, după cum am arătat mai sus, se poate scrie ca un produs de 4 numere întregi impare (-3)(-1)(+1)(+3).

O alta solutie: Un număr din muțimea Z ridicat la puterea 2 se poate scrie ca un produs de 4 factori astfel: a^2=(-a)(-1)(+1)(+a) Cum a este dat ca fiind impar, atunci sigurul număr impar consecutiv numărului 1 este 3. 3^2=(-3)(-1)(+1)(+3) Pentru problema data soluția este unică.

 

Viorel Manta:

Singura posibilitate pe care o vad este ca multimea celor 4 numere intregi impare si consecutive sa fie {-3,  -1, 1, 3} 

Si atunci produsul lor (-3)x(-1)x1x3=9=3² , dar atunci sunt 2 numere intregi care satisfac cerinta si anume -3 si 3

Argumentare:

Fie n-3, n-1, n+1, n+3 cele 4 numere impare consecutive

Atunci (n-3)(n-1)(n+1)(n+3)=k²

adica (n²-1)(n²-9)=k² care devine n⁴-10n²+9=k² si notand n² cu p obtinem

p²-10p+9-k²=0 si atunci delta este D=100-40(9-k²) = 40k²-260=20(2k²-13)

Pentru ca Delta sa fie patrat trebuie ca 20(2k²-13) sa fie patrat deci 20(2k²-13)=x²

dar 2²x5(2k²-13) e patrat perfect daca 5(2k²-13) e patrat si atunci

trebiuie ca 2k²-13 sa fie de forma 5, 5³, 5⁵ etc.

daca 2k²-13=5 rezulta ca 2k²=18 deci k=3 sau k=-3 adica e solutie a problemei date pentru n=0 si

cele 4 numere prime consecutive sunt -3, -1, 1, 3.