Am primit soluţii corecte de la Ady Nicolae, Zoltan Szabo, Ştefan Gaţachiu, Elena Doandeş şi Aurel Ionescu.

Voi reda soluţia lui Ştefan, deoarece este cea mai simplă şi clară matematic.

Ştefan Gaţachiu:

Voi răspunde la a doua întrebare și apoi voi vedea în ce categorie de numere se încadrează numărul 1132.

Pentru N=1: Alice, evident, câștigă.

Pentru N=2: Fie că scade 1, fie că împarte la 2, Alice pierde.

Pentru N=3: Alice: 3-1=2 și Bob pierde (conform cazului N=2), deci Alice câștigă.

Pentru N=4: Alice: 4:2=2 și Bob pierde (cazul N=2), deci Alice câștigă.

Pentru N=5: Alice 5:2→2 și Alice câștigă.

Pentru N=6: Dacă Alice: 6-1=5, atunci Bob câștigă (cazul N=5)

                    Dacă Alice: 6:2=3, atunci Bob câștigă (cazul N=3)

Să analizăm deocamdată aceste numere.

1=20

2=21

3=1∙3=20∙3

4=22

5=1∙5=20∙5

6=2∙3

Se observă că numerele pentru care Alice câștigă conțin în descompunerea în factori primi o putere pară a lui 2 (incluzând și puterea 0), iar numerele pentru care Alice pierde conțin o putere impară a lui 2. Vom demonstra prin inducție cazul când Alice câștigă.

Presupunem că Alice câștigă pentru numerele de forma (P(k)): N=22kp, unde p este impar.

Fie (P(k+1)): N=22k+2qq impar.

Alice: 22k+2q:2→22k+1q

Acum dacă Bob: 22k+1q:2→22kq și se obține cazul P(k).

Dacă Bob: 22k+1q-1, atunci numărul obținut este impar și putem considera că îl conține pe 20 în descompunerea în factori primi, adică P(0), care este adevărată.

Numărul 1132=22∙283, deci conține o putere pară a lui 2, astfel că Alice câștigă.

Notă (AA):

Odată ce Alice a stabilit că număr aleator N este câştigător, ea trebuie să stabilească o strategie de câştig. Ady Nicolae şi Zoltan Szabo au propus strategii de câştig, dar destul de sofisticate.

Cea mai simplă strategie  posibilă se bazează pe scrierea lui N în baza 2.

Alice are strategie de câştig dacă şi numai dacă reprezentarea binară a lui N este [N]_2= abc...10...0  cu un număr par de zerouri (posibil niciunul) la sfârşit.

Atunci:

1. Dacă [N]_2=1, atunci scade o unitate (decrementează)  şi câştigă. 
2. Dacă [N]_2 se termină cu 0, îl elimină (împarte la 2).

3. Dacă [N]_2 se termină cu 1 precedat de un număr impar de 0, şterge pe 1 (împarte la 2 şi ia partea întreagă).

4. Dacă [N]_2 se termină cu 1 precedat de un număr par de 0, atunci înlocuieşte acel 1 cu 0 (decrementează).

Zoltan Szabo

 Cerinţa a treia: pentru un număr aleator ales, cine va fi câştigătorul?

 S-a observat că toate numere impare sunt câştigătoare, iar cele pare pot fi atât câştigătoare cât şi necâştigătoare.

Deci probabilitatea este mai mare ca un număr aleator să fie câştigător.

Cât este această probabilitate?

Luând mulţimea numerelor divizibile cu 2n (n par), acestea se comportă similar ca mulţimea numerelor naturale 1,2,3, ... Deci pentru fiecare n par vom avea un raport 2:1 în favoarea numerelor câştigătoare. 

Extindem procedeul până la infinit, şi astfel deducem că raportul dintre numerele câștigătoare și necâștigătoare este 2:1.

Deci, probabilitatea ca numărul sa fie câștigător pentru Alice este 2/3=0,(6), iar probabilitatea ca numărul să fie necâștigător este 1/3=0,(3) .