Problema a fost propusa de Nicu Scutaru, care a primit punctajul aferent acesteia (15 puncte). Multumim pentru propunere!

Soluţii corecte: Vasile Trofin (inclusiv bonus), Zoltan Szabo (inclusiv bonus), Monica Oprina (inclusiv bonus), Ionel-Vasile Pit-Rada (inclusiv bonus).

 

Vasile Trofin:

Se obține pentru n valoarea 287 iar pentru m valoarea 289. 

Problema se poate rezolva prin două metode.

1) Metoda efectuării de sume parțiale.

Fie N= 3+93+993+9993+99993+....+ 99...993 și n numărul de cifre 9 în fiecare termen al sumei, n=0,1,2 ... . Notăm cu N1=N+2017 și cu M=111...111 în care cifra 1 se repetă de m ori.

Operăm următoarele sume parțiale în funcție de valorile lui n ;

n=0 , S₀= 3+2017=2020, m=0;

n=1 , S₁ = S₀ +93=2123 , m=0;

n=2 , S₂ = S₁ + 993= 3106 , m=0;

n=3 , S₃ = S₂ + 9993=13099, m=n-2=1;

n=4 , S₄ = S₃ + 99993= 113092 , m=n-2=2 ;

......................................

Se observă că , începând cu termenul corespunzător lui n=2,  se poate stabili o relație între numerele formate cu ultimile 4 cifre ale fiecărei sume parțiale , respectiv numărul format cu ultimile patru cifre ale sumei corespunzătoare lui n+1 este mai mic cu 7 decât numărul format cu ultimile 4 cifre ale sumei parțiale anterioare iar primele cifre ale respectivelor sume parțiale au cifra 1 într-un număr de n-2 ori. Această situație cu numărul cifrelor 1 in fața sumelor parțiale este rezultatul adunării la suma anterioară a unui număr egal cu 10ⁿ  și scăderea din suma rezultată a cifrei 7.  Pe baza acestor considerente , se poate determina care este numărul sumelor parțiale care sepot efectua până ce S_n va fi identică cu M . Acest lucru se întâmplă după (3106-1111)/7 = 285 pași .

 Rezultă că n= 285+2 =287 iar m= (287-2)+4= 289 ( 4 este numărul de 1 din ultimul număr cu patru cifre al sumei parțiale S₂₈₇ )  care este și soluția problemei .

2) Metoda identității.

Numărul M=111...111 poate fi scris ca o sumă de puteri ale lui 10 , respectiv :

M=1+10+10² +10³ + 10⁴ + ....

Numărul N = 3+93+993+9993+99993+... 999...993 poate fi reprezentat tot ca o sumă de puteri ale numărului 10 dacă se adaugă la fiecare termen cifra 7. Numărul de cifre 7 necesar realizării identității N+2017=M  se obține din numărul 2017care este 2017=288*7 +1 . Deci un număr de 288 determeni ai sumei N devin puteri ale lui 10. Rezultă n= 288-1=287 , fiindcă începând de la al doilea termen al sumei N se contorizează cifra 9 . Numărul m de cifre 1 va fi  m= 288+1 =289.

 

Zoltan Szabo:

Valoarea lui N este compusă din n+1 termeni:

N = 3 + 93 + 993 + .... + 999...993 =

= 3 +( (10-1)*10+3) + ( (10²-1)*10+3) + ... + ( (10ⁿ-1)*10+3)  =

= 3 + (10 * 10 -7) + (10² * 10 -7) + ... (10ⁿ * 10 - 7) =

= 3 + (10² + 10³ + ... +10ⁿ⁺¹) – 7n

Expresia N+2017 este un număr natural format doar din cifre de 1 (conform enunțului: m cifre de 1)

Pe de o parte:

N+2017 = 2020 + (10² + 10³ + ... +10ⁿ⁺¹) – 7n = 10ⁿ⁺¹ + 10ⁿ + ... + 10² + 2020 – 7n

Pe de altă parte

N+2017 = 10^m-1+ 10^m-2+ ... + 10² + 10 + 1

De aici deducem următoarele relații:

1. 2020-7n = 11 , adică 7n=2009 , adică n=287

2. n+1=m-1, adică m=n+2=289