Problema a fost propusa de Vasile Trofin, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

Soluții corecte: Zoltan Szabo, Ady Nicolae (da o solutie diferită de cea gandita de ceilalti rezolvitori), Viorel Manta, Nicu Scutaru, Jean Henry Berevoescu, Ionel-Vasile Pit-Rada, Aurel Ionescu.

 

Jean Henry Berevoescu:

1.    1 = 2⁰ – 0

2.    3 = 2² – 1

3.    14 = 2⁴ – 2

4.    61 = 2⁶ - 3

5.    252 = 2⁸ – 4

6.    1019 = 2¹⁰ – 5

7.    …

Formula generala, membrul n al seriei S este: s_n = 2^{2(n – 1)} - (n - 1)

 

Ionel-Vasile Pit-Rada:

Initial avem situatia
1, 3, 14, ?, 252, ?
Observam ca valorile cresc foarte rapid ceea ce ne duce cu gandul la puteri.
Puterile lui 2: 1,2,4,8,16,32 cresc prea lent
Puterile lui 3:1,3,9,27,81,243 deasemenea cresc prea lent
Puterile lui 4:1,4,16,64,256,1024 par cele care au legatura cu sirul dat
Observam ca trebuie sa scadem din fiecare puterea a lui 4 exponentul corespunzator ei, 4^x-x si obtinem toti termeni cunoscuti
1, 3, 14, 61, 252, 1019
Astfel numerele de pe cartonasele cerute sunt 61 si 1019.

 

Ady Nicolae:

Se observă că diferenţele dintre primele trei numere sunt 2 (3-1), respectiv 11 (14-3), ambele numere fiind prime.

Mergând pe aceeaşi idee, vom considera toate cazurile pentru care X-14 şi 252-X sunt numere prime.

Un singur caz mi-a atras atenţia:

	1		3		14		61		252		Y
Diferenta		2		11		47		191		Y-252

 

Am analizat numărul numerelor prime aflate în intervalele 2-11, 11-47 şi 47-191.

Se observă că aceste numere sunt puterile lui 3. Analog obţinem:

	1		3		14		61		252		Y
Diferenta		2		11		47		191		Y-252
Nr. Prime din interval			3		9		27		81

 

Deci între 191 şi următorul număr va trebui să avem 81 de numere prime. Obţinem şi ultimul număr:

	1		3		14		61		252		943
Diferenta		2		11		47		191		691
Nr. Prime din interval			3		9		27		81