Problema a fost propusa de Aurel Ionescu, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

Soluții corecte: Ionel-Vasile Pit-Rada, Cristian Daniel Balanoiu, Vasile Trofin, Zoltan Szabo, Jean Henry Berevoescu, Viorel Manta, Nicu Scutaru, Ady Nicolae.

 

Ionel-Vasile Pit-Rada:

Solutia 1:

Se observa ca daca notam lungimea bazei mari a trapezului cu A si lungimea bazei mici cu B, atunci lungimea liniei mijlocii C va fi egala cu (A+B)/2, iar lungimea D a segmentului care uneste intersectiile formate de linia mijlocie cu diagonalele va fi egala cu (A-B)/2.
O solutie poate fi A=7, B=3, C=5, D=2.
Aceasta este singura solutie cu 2 < B < A < 1000000.

Solutia 2:
Se observa ca daca notam lungimea bazei mari a trapezului cu A si lungimea bazei mici cu B, atunci lungimea liniei mijlocii C va fi egala cu (A+B)/2, iar lungimea D a segmentului care uneste intersectiile formate de linia mijlocie cu diagonalele va fi egala cu (A-B)/2, deci A si B trebuie sa fie numere impare. Deci A > C > B, cu A, C si B numere prime impare.
Din relatiile gasite obtinem ca A=C+D si B=C-D, deci D trebuie sa fie egal cu 2, in caz contrar A si B ar fi numere pare.
Deoarece B=C-2 si A=C+2, avem ca B, C si A formeaza o progresie aritmetica cu ratia 2. Dintre cele trei numere unul trebuie sa fie intotdeauna divizibil cu 3, deci B=3. Astfel avem solutia unica A=7, B=3, C=5, D=2.

 

Jean Henry Berevoescu:

Notind:

- a: masura bazei mici

- b: masura baza mari

- m: masura liniei mijlocii

- d: masura segmentul determinat de intersectiile diagonalelor cu linia mijlocie

Avem relatiile:

· m = (a + b) / 2

· (a / 2) + d = (b / 2)

De unde:

· a + b = 2m

· b – a = 2d

Adunind prima ecuatie cu a doua:

· 2b = 2m + 2d => b = m + d

Scazind a doua ecuatie din prima:

· 2a = 2m – 2d => a = m - d

Setul de ecuatii:

· a = m – d

· b = m + d

Trebuie sa fie satisfacut de numere prime.

Luind cele mai mici valori prime pentru m si d: m = 3, d = 2 rezulta a = 1, b = 5

· solutie invalida, pentru ca 1 nu este prim

Urmatoarea pereche: m = 5, d = 2 rezulta a = 3, b = 7

· solutie valida, toate numerele sint prime.

Pentru orice alta combinatie in care d > 2, perechea (m, d) este de numere prime cu cel putin suma lor un multiplu de 2.

Pentru cazurile in care d = 2 si m un prim cu m > 5, pentru orice pereche de prime cu diferenta 2, in cazul nostru perechile de prime pot fi pentru {m, a} sau {m, b}, dar nu pot fi ambele perechi de prime (pentru ca ar insemna ca exista in setul de numere naturale tripleti de prime distantate una de cealalta de doua unitati).

Deci solutia unica este: {a, b, m, d} = {3, 7, 5, 2}

 

Viorel Manta:

Daca notam cu ABCD un trapez oarecare cu MN linia mijlocie si cu P, respectiv Q intersectia liniei mijlocii cu diagonalele trapezului si cu

B-Baza mare

b – baza mica

l – linia mijlocie

s – segmentul determinat de linia mijlocie prin intersectia cu mijloacelor diagonalelor (PQ)

 Notam cu x segmentul MP si cu y segmentul QN.

Conform proprietatilor oricarui tip de trapez avem relatiile

l =  (B+b)/2

MP+PQ+QN=l adica x+s+y=l deci  s=l-(x+y)

In triunghiul ADC, MP e linie mijlocie deci MP=x=b/2

In triunghiul DBC, QN e linie mijlocie deci QN= y=b/2

In final, x+y= b de unde s=l-b

Problema cere sa gasim pe B,b, s si l numere prime.

O solutie este B=7, b=3, l=5 si s=2

 

Nicu Scutaru:

Notăm cu „a” și „b” bazele trapezului cu b>a. Calculam linia mijlocie cu formula cunoscuta: (a+b)/2. Segmentul determinat de intersecția linei mijlocii cu diagonalele trapezului se calculează cu relația: (b-a)/2 . Pentru a=3 și b=7 obținem (a+b)/2=5 și (b-a)/2=2. Raspuns: Exista un trapez având bazele, linia mijlocie și segmentul determinat de intersecția diagonalelor cu linia mijlocie: 3, 7, 5, 2. Solutia este unica, fiindcă toate numerele prime mai puțin 2, sunt numere impare, iar semi-suma sau semi-diferența a doua numere impare este un număr par.