Problema a fost propusa de Vasile Trofin, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!
Soluții corecte: Zoltan Szabo, Viorel Manta, Aurel Ionescu, Ionel-Vasile Pit-Rada, Jean-Henry Berevoescu, Nicu Scutaru, Emil Claudiu Man.
Zoltan Szabo:
Singura monedă nedivizibilă cu 5 este cea de 1 ban.
Din această monedă vom avea obligatoriu 0, 5, 10, 15, sau 20 de bucăți, altfel suma nu va fi divizibilă cu 5.
De asemenea observăm că mai mult de o monedă de 50 de bani nu putem avea.
Cazul I. Nu avem moneda de 1 ban.
In acest caz suma minimă se obține cu 25 de monede de 5 bani, ce depășește 100 de banii, deci nu există soluție.
Cazul II. Avem 5 monede de 1 ban
În acest caz alte 20 monede de 5, 10, și 50 trebuie să aibă suma 95.
Suma minimă pentru 20 de monede de 5 are valoarea 100, depășește 95, nu există soluție.
Cazul III. Avem 10 monede de 1 ban
În acest caz alte 15 monede de 5, 10, și 50 trebuie să aibă suma 90.
a. Dacă am avea o monedă de 50, atunci trebuie să găsim alte 14 monede de 5 și 10 cu suma 40. Sistemul {5a + 10b = 40, a+b=14} are soluția a=20 b=-6. Nu este soluție
b. Dacă nu avem moneda de 50, atunci trebuie să găsim alte 15 monede de 5 și 10 cu suma 90.
Sistemul {5a + 10b = 90, a+b=15} are soluția a=12 b=3.
Avem soluția {10 monede de 1, 12 monede de 5 și 3 monede de 10}
Cazul IV. Avem 15 monede de 1 ban
În acest caz alte 10 monede de 5, 10, și 50 trebuie să aibă suma 85.
a. Dacă avem o monedă de 50, atunci trebuie să găsim alte 9 monede de 5 și 10 cu suma 35
Sistemul {5a + 10b = 35, a+b=9} are soluția a=11 b=-2. Nu este soluție
b. Dacă nu avem moneda de 50, atunci trebuie să găsim alte 10 monede de 5 și 10 cu suma 85.
Sistemul {5a + 10b = 90, a+b=15} are soluția a=3 b=7.
Avem soluția {15 monede de 1, 3 monede de 5 și 7 monede de 10}
Cazul V. Avem 20 de monede de 1 ban
În acest caz alte 5 monede de 5, 10, și 50 trebuie să aibă suma 80.
a. Dacă avem o monedă de 50, atunci trebuie să găsim alte 4 monede de 5 și 10 cu suma 30
Sistemul {5a + 10b = 30, a+b=4} are soluția a=2 b=2.
Avem soluția {20 monede de 1, 2 monede de 5, 2 monede de 10 și 1 monedă de 50}
b. Dacă nu avem moneda de 50, atunci trebuie să găsim alte 5 monede de 5 și 10 cu suma 80.
Observăm că suma maximă se obține cu 5 monede de 10 bani, având doar 50 de bani. Deci nu există soluție în acest subcaz.
Am găsit deci 3 soluții.
Viorel Manta:
Problema revine la a calcula solutiile numere naturale ale ecuatiei
50x+10y+5z+t=100 (unde cu x,y,z,t am notat nr de monezi din cele 4 mentionate in ipoteza)
Cu conditiile
X+y+z+t=25, x<2
Si t multiplu de 5 (rezulta din 5(10x+2y+z)+t=100 adica 10x+2y+z=20-t/5)
Ecuatia initiala se mai poate scrie
49x+9y+4z+(x+y+z+t)=100 adica 49x+9y+4z+25=100 sau 49x+9y+4z=75
I. x=0
9y+4z=75 de unde deducem ca y este impar si <9
a. Y=7 ==> z=3 deci t=25-0-7-3=15 si solutia este {0,7,3,15};
b. Y=5 --> z=30/4 nu convine
c. Y=3 --> z=48/4=12 deci t=25-3-12=10 si solutia {0,3,12,10}
d. Y=1 --> z=66/4 nu convine pentru ca nu apartine num naturale.
II. x=1
49+9y+4z=75 adica 9y+4z= 26 deci y tb sa fie par si <3
a. Y=0 --> 4z=26 nu convine pt ca y ar fi fractionar
b. Y=2 ==> 4z=8 z=2 deci t=25-1-2-2=20 si solutia {1,2,2,20}
Exista 3 solutii.