Problema a fost propusa de Vasile Trofin, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

Soluții corecte: Zoltan Szabo, Viorel Manta, Aurel Ionescu, Ionel-Vasile Pit-Rada, Jean-Henry Berevoescu, Nicu Scutaru, Emil Claudiu Man.

 

Zoltan Szabo:

Singura monedă nedivizibilă cu 5 este cea de 1 ban.

Din această monedă vom avea obligatoriu 0, 5, 10, 15, sau 20 de bucăți, altfel suma nu va fi divizibilă cu 5.

De asemenea observăm că mai mult de o monedă de 50 de bani nu putem avea.

Cazul I.   Nu avem moneda de 1 ban.

In acest caz suma minimă se obține cu 25 de monede de 5 bani, ce depășește 100 de banii, deci nu există soluție.

Cazul II. Avem 5 monede de 1 ban

În acest caz alte 20 monede de 5, 10, și 50 trebuie să aibă suma 95.

Suma minimă pentru 20 de monede de 5 are valoarea 100, depășește 95, nu există soluție.

Cazul III. Avem 10 monede de 1 ban

În acest caz alte 15 monede de 5, 10, și 50 trebuie să aibă suma 90.

a. Dacă am avea o monedă de 50, atunci trebuie să găsim alte 14 monede de 5 și 10 cu suma 40. Sistemul  {5a + 10b = 40, a+b=14} are soluția a=20 b=-6. Nu este soluție

b. Dacă nu avem moneda de 50, atunci trebuie să găsim alte 15 monede de 5 și 10 cu suma 90.

Sistemul  {5a + 10b = 90, a+b=15} are soluția a=12 b=3.

Avem soluția {10 monede de 1, 12 monede de 5 și 3 monede de 10}

Cazul IV. Avem 15 monede de 1 ban

În acest caz alte 10 monede de 5, 10, și 50 trebuie să aibă suma 85.

a. Dacă avem o monedă de 50, atunci trebuie să găsim alte 9 monede de 5 și 10 cu suma 35

Sistemul  {5a + 10b = 35, a+b=9} are soluția a=11 b=-2. Nu este soluție

b. Dacă nu avem moneda de 50, atunci trebuie să găsim alte 10 monede de 5 și 10 cu suma 85.

Sistemul  {5a + 10b = 90, a+b=15} are soluția a=3 b=7.

 Avem soluția {15 monede de 1, 3 monede de 5 și 7 monede de 10}

Cazul V. Avem 20 de monede de 1 ban

În acest caz alte 5 monede de 5, 10, și 50 trebuie să aibă suma 80.

a. Dacă avem o monedă de 50, atunci trebuie să găsim alte 4 monede de 5 și 10 cu suma 30

Sistemul  {5a + 10b = 30, a+b=4} are soluția a=2 b=2.

Avem soluția  {20 monede de 1, 2 monede de 5, 2 monede de 10 și 1 monedă de 50}

b. Dacă nu avem moneda de 50, atunci trebuie să găsim alte 5 monede de 5 și 10 cu suma 80.

Observăm că suma maximă se obține cu 5 monede de 10 bani, având doar 50 de bani. Deci nu există soluție în acest subcaz.

Am găsit deci 3 soluții.

 

Viorel Manta:

Problema revine la a calcula solutiile numere naturale ale ecuatiei

50x+10y+5z+t=100 (unde cu x,y,z,t am notat nr de monezi din cele 4 mentionate in ipoteza)

Cu conditiile

X+y+z+t=25, x<2

Si t multiplu de 5 (rezulta din 5(10x+2y+z)+t=100 adica 10x+2y+z=20-t/5)

Ecuatia initiala se mai poate scrie

49x+9y+4z+(x+y+z+t)=100 adica 49x+9y+4z+25=100 sau 49x+9y+4z=75

I. x=0

9y+4z=75 de unde deducem ca y este impar si <9

a.    Y=7 ==> z=3 deci t=25-0-7-3=15 si solutia este {0,7,3,15};

b.    Y=5 --> z=30/4  nu convine

c.     Y=3 --> z=48/4=12 deci  t=25-3-12=10 si solutia {0,3,12,10}

d.    Y=1 --> z=66/4 nu convine  pentru ca nu apartine num naturale.

II. x=1

49+9y+4z=75 adica 9y+4z= 26 deci y tb sa fie par si <3

a.    Y=0 --> 4z=26 nu convine pt ca y ar fi fractionar

b.    Y=2 ==> 4z=8  z=2 deci t=25-1-2-2=20 si solutia {1,2,2,20}

Exista 3 solutii.