Soluții corecte: Simona-Irina Ghita, Aurel Ionescu, Ionel-Vasile Pit-Rada, Cristian-Daniel Balanoiu, Nicu Scutaru, Jean-Henry Berevoescu, Zoltan Szabo, Ady Nicolae, Emil Claudiu Man.

 

Simona-Irina Ghita:

3 auriu - 8 argintii - 109 ceramica.

Sunt singurele numere a caror suma este:

1. mai mare de 100;

2. divizibila cu 5 si 8;

O alta solutie ar fi putut fi si 1 - 23 - 96, dar nu s-ar indeplini conditia: fiecare model fiind realizat în mai multe exemplare. (1 nu inseamna mai multe exemplare)

 

Aurel Ionescu:

Numarul de martisoare trebuie sa fie divizibil cu 5 (pentru ca au facut un numar egal de martisoare) dar si cu 8 (pentru ca magazinele au cumparat acelasi numar de martisoare).

Cum numarul este mai mare ca 100 el va trebui sa fie 120 (pentru ca urmatoarul numar care se imparte la 5 si 8 este 200.

Deci avem 17x+4y+2z=301

x+y+z=120

Daca x ar fi 8 atunci 17x=136 ar face prea mult si am depasi suma de 301.

Mai mult x trebuie neaparat sa fie impar pentru ca 4y si 2z sunt pare iar 301 impar.

Gasim x=3 apoi 4y+2z=250 si y+z=117 de unde y=8 si z=109.

 

 Zoltan Szabo:

Cinci persoane au confectionat acelasi numar de martisoare.

Opt magazine cumpara acelasi numar de martisoare.

Asta inseamna ca numarul martisoarelor este divizibil cu 5 si cu 8, deci este divizibil cu 40.

Numere divizibile cu 40 sunt: 40, 80, 120, 160, 200, ...

Numerele sub 100 nu intra in calcul. 

Suma totala a martisoarelor este 301 - numar impar.  Preturile unitare ale martisoarelor sunt 17, 4 si 2. Singurul numar impar este 17, deci ca suma preturilor sa fie impar, martisorul de aur trebuie sa fie intr-un numar impar de ori. 

Din fiecare tip de martisoare s-au confectionat mai multe. Primul numar impar mai mare decat 2 este 3. Vom considera ca sunt 3 martisoare de aur in valoare 3*17=51 euro.

Diferenta de pret pentru celelalte martisoare este 301-51=250

Cazul I. 

COnsiderand ca sunt 120 de martisoare in total, atunci din celelalte doua tipuri vor fi 117 martisoare.

Notand cu A martisoarele de argint cu C martisoarele de ceramica, avem următorul sistem de eccuatii:

A+C=117   (1)

4A+2C=250   sau 2A+C=125    (2)

Scadem prima ecuatie din a doua, A = 125 - 117 = 8 

C=109

Avem 3 martisoare de aur, 8 martisoare de argint si 109 martisoare de ceramica.

Avem in total 3+8+109=120 de martisoare. Miruna si angajatii ei au confectionat cate 24 de martisoare, cele opt magazine au cumparat cate 15 martisoare.

Valoarea totala a martisoarelor este 3*17+8*4+109*2=51+32+218=301 euro.

Alte solutii nu exista. Intr-adevar daca am considera ca numarul martisoarelor este 160 si s-au confectionat 3 de aur, atunci pentru celelalte doua tipuri ar ramane 157.

A+C=157

4A+2C= 250 sau 2A+C=125

Scadem prima ecuatie din a doua, A = 125 - 157 = -32, imposibil.

Daca acceptam ca s-au confectinat 5 martisoare de aur in valoare de  5*17=85 , diferenta de pret pentru celelalte martisoare va fi 301 - 85= 216 euro

A+C=115

4A+2C=216 sau 2A+C=108. Scazand prima ecuatie din a doua vom obtine pentru A=-7, ceea ce este imposibil.

Celelalte cazuri vor admite de asemenea solutii negative pentru A, deci solutia unica este  

3 martisoare de aur

8 martisoare de argint

109 martisoare de ceramica.