Soluţii corecte: Zoltan Szabo, Nicu Scutaru, Jean Henry Berevoescu,

Problema a fost propusa de Vasile Trofin, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

Notă: Problema admite mai multe soluții, dar toate urmează aceeași idee.

 

Zoltan Szabo:

Numarul 11 se poate obtine astfel:

se construiesc numerele ab, bc, cd, da, respectiv a, b, c, d

Suma numerelor ab+bc+cd+da=10a+b+10b+c+10c+d+10d+a=11(a+b+c+d);

Impartind la a+b+c+d, se optine raportul constant 11.

Numarul 33 se poate obtine astfel:

construim toate numerele de doua cifre care nu contin cifre identice: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc

Suma acestor numere este 33(a+b+c+d) deci impartind la (a+b+c+d) obtinem 33.

Numarul 44 se obtine astfel:

construim toate numerele de doua cifre: aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd

Suma acestor numere este 44(a+b+c+d) deci impartind la (a+b+c+d) obtinem 44.

Numarul 22 se obtine astfel:

construim toate numerele de doua cifre: aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd

Calculam suma numerelor cu cifre distincte, scadem din acest numar numerele cu cifre identice

ab+ac+ad+ba+bc+bd+ca+cb+cd+da+db+dc-aa-bb-cc-dd=22(a+b+c+d)

Impartind la (a+b+c+d) obtinem 22.

Numarul 67 se obtine astfel:

construim toate numerele de 3 cifre identice: aaa, bbb, ccc, ddd

construim toate cifrele de 2 cifre: aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd

Calculam suma numerelor de trei cifre din care scadem toate numerele de doua cifre. 

Rezultatul este (111-44)(a+b+c+d)=67(a+b+c+d) 

Impartind la (a+b+c+d) obtinem 67.

 

Nicu Scutaru:

Solutua1: Oricare ar fi 4 cifre nenule, a,b,c,d, avem: [abc+bcd+cda+dab-(ab+bc+cd+da)-(a+b+c+d)]/(a+b+c+d)=(100a+10b+c+100b+10c+d++100c+10d+a+100d+10a+b-10a-b-10b-c-10c-d-10d-a-a-b-c-d)/(a+b+c+d)=(111a+111b+111c+111d-12a-12b-12c-12d)/(a+b+c+d)=99(a+b+c+d)/(a+b+c+d)= 99 Raspuns: 99

Solutia 2: (ab+bc+cd+da)/(a+b+c+d)=(10a+b+10b+c+10c+d+10d+a)/(a+b+c+d)=(11a+11b+11c+11d)/(a+b+c+d)=11. Raspuns: 11

Nota: Pot fi soluții și numerele rezultate din 99 și 11 prin scăderi succesive.

 

Jean Henry Berevoescu:

Pentru orice set de cifre de la 1 la 9, S = {l, m, n, p}

Putem construi urmatoarea expresie: (<ll> + <mm> + <nn> + <pp>) / (l + m + n + p)

Notam suma: T = l + m + n + p

Atunci expresia se va transforma in: (10 * T + T) / T = 11

Deci numarul ales de Petre este 11 si expresia ajunge la 11 indiferent de setul de cifre ales de catre Ioan.

Exemple:

1. S = {2, 4, 7, 9}

(22 + 44 + 77 + 99) / (2 + 4 + 7 + 9) = 242 / 22 = 11

2. S = {1, 2, 4, 6}

(11 + 22 + 44 + 66) / (1 + 2 + 4 + 6) = 143 / 13 = 11

3. S = {6, 7, 8, 9}

(66 + 77 + 88 + 99) / (6 + 7 + 8 + 9) = 330 / 30 = 11

Nota 1: daca expresia de la numarator o construim din 2, 3, 4… sume, obtinem numarul original: 22, 33, 44…

Nota 2: pozitiile cifrelor din setul S = {l, m, n, p} nu este relevant, atita timp cit fiecare cifra este folosita si este folosita o singura data ca multiplicator de 10 si o singura data ca unitate. Sumele sint aceleasi. Formula generala ar fi (<a1a2> + <b1b2> + <c1c2> + <d1d2>) / (l + m + n + p), unde a1, b1, c1, d1 sint oricare din setul S, dar folosite o singura data si a2, b2, c2, d2 sint oricare din setul S, dar folosite o singura data.

Daca Ioan urmeaza aceasta strategie, nu conteaza cum formeaza numerele de doua cifre de la numarator, atita timp cit fiecare cifra din setul S apare o singura data si numai o singura data la zeci si o singura data si numai o singura data la unitati.