Soluţii corecte: Jean Henry Berevoescu, Vasile Trofin, Ionel-Vasile Pit-Rada, Angela Sandu, Aurel Ionescu, Viorel Manta, Nicu Scutaru, Stefan Gatachiu, Emil-Claudiu Man, Alexandru Cohal.

Problema a fost propusa de Zoltan Szabo, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

 

Jean Henry Berevoescu:

Notam urmatoarele:

M : cantitatea totala de munca necesara proiectului

n : numarul initial de muncitori

mz : cantitatea de munca zilnica per muncitor

z1 : numarul de zile necesare folosind echipa initiala (z1 = 11)

z2 : numarul de zile necesar noii echipe pentru a termina proiectul

Atunci avem urmatorul sistem de ecuatii:

M = n * mz * z1 = n * mz * 11

M = n * mz * 4 + (n + 7) * mz * z2

de unde:

n * mz * z1 = n * mz * 4 + (n + 7) * mz * z2

de unde rezulta:

n * z1 = n * 4 + (n + 7) * z2 ==> 11n = 4n + (n + 7) * z2 ==> 7n = (n + 7) * z2

deci:

z2 = 7n / (n + 7)

Stim ca z2 ∈ ℕ, deci n / (n + 7) ∈ ℕ, deci n trebuie sa fie multiplu de 7. Singura valoare care verifica conditia este n = 42 (graficul functiei n / n + 7 urca de la 0.875, trece prin valoarea 6 la n = 42 si duce spre 7 la infinit).

Deci numarul initial de muncitori este: n = 42 si numarul de zile de care noua echipa are nevoie pentru a termina proiectul este: z2 = 6.

 

Ionel-Vasile Pit-Rada:

Fie T cantitatea totala care trebuie realizata.
x muncitori lucreaza intr-o zi T/11
x muncitori lucreaza in 4 zile 4*T/11 , (1)
A mai ramas de lucrat cantitatea 7*T/11
Fie y echipa suplimentara de 7 muncitori.
x si y vor termina lucrarea in cel mult 6 zile
Numarul de zile in care va fi terminata lucrarea poate fi egal cu 1,2,3,4,5 sau 6
Analizand fiecare caz in parte se observa ca doar 6 poate fi solutie.
Deci x si y mai lucreaza in 6 zile 7*T/11 si termina lucrarea
Un muncitor deci lucreaza 7*T/11/6/(x+7) , (2)
Conform cu (1) si (2) fiecare muncitor lucreaza intr-o zi
T/11/x=7*T/11/6/(x+7) de unde rezulta x=42,
deci prima echipa a fost formata din 42 muncitori.
Raspuns final: 42 muncitori si 6 zile

 

Viorel Manta:

n muncitori   in 4 zile   lucreaza        4/11       din lucrare

1 muncitor   in 4 zile    lucreaza        4/11n       din lucrare

1 muncitor   in 1 zi       lucreaza        1/11n       din lucrare

Dupa 4 zile mai raman 7/11 din lucrare.

1 muncitor   in k zile     lucreaza        k/11n       din lucrare

n+7 muncitori in k zile   lucreaza    [(n+7)k]/11n din lucrare

deci [(n+7)k]/11n=7/11 sau

(n+7)k=7n adica k=7n/(n+7) sau

k= 7-49/(n+7)

cu alte cuvinte n+7 tb sa divida pe 49 (pt a obtine un k natural)

cum n e natural > 0, convine solutia n=42 care, in relatia noastra, da pe k=6.

Solutia este

Nr muncitori initiali n=42

Echipa de 49 lucratori termina lucrarea in 6 zile.