Problema a fost propusa de Ioan Scutaru, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

Rezolvarea propusa de Ioan Scutaru la propunerea problemei a fost gasita de un singur rezolvitor: Vasile Trofin.

 

Vasile Trofin:

Analizand cu multa atentie raspunsurile date la comentariile pe care le-au facut rezolvitorii la problema propusa , am cercetat un sir finit  de numere , generate dupa diverse reguli ,si am ajuns la concluzia ca , daca intr-un sir primul termen si ultimul termen sunt identici atunci suma diferentelor dintre doi termeni consecutivi  , ai +1 - a , i= 1 ,2 3 ... n  , este nula. Demonstratia este imediata. Asadar , in lipsa cunoasterii regulei de generare a termenilor sirului (an, termenii intermediari din intervalul [a1, an] se obtin gasind alte numere a cror suma este zero care se vor adauga cate unul la fiecare termen al sirului respectiv in asa fel incat termenul  a1 sa fie egal cu an .Aceasta este problema generala. 

Revenind la problema in cauza, termenii sirului au o regula de generare , respectiv produsul cifrelor numarului anterior la care se aduga 25 = 32 si rezulta : 56=6x4+25 ; 62=5x6+ 25 ; 44=6x2 + 2. Termenii necunoscuti care urmeaza dupa numarul 44 , daca se urmeaza cu aceeasi regula sunt : 4x4 + 2 =48 ; 4x8+25 =64 . Asadar , dupa 5 minute , secventa de numere 64 , 56 , 62 , 44 , 48 se repeta. Timpul de 1 zi 9 ore si 39 minute convertit in minute reprezinta 2019 minute. In cele 2019 minute sunt 403 sevente care se repeta iar la minutul 2019 se va afisa termenul al patrulea al secventei 56, 62, 44, 48 , 64 , respectiv numarul 48 . 

Asadar , solutia la problema propusa este numarul 48. 

Daca efectuam diferentele 56-64=-8 , 62-56=6 , 44-62=-18 , 48-44=4 si 64-48=16 , si le insumam  ( -8) + (6) +(-18) +(4)+(16) =0 , adica se respecta concluzia despre care am vorbit la inceput. 

 

Am mai primit alte propuneri, dar acestea fac o anumita presupunere suplimentara. Acestea au fost punctate partial.

Zoltan Szabo da doua solutii: (1) se considera singurele valori sunt cele din enunt si ele se atribuie ca t(x)=64 dacă x mod 4=0, t(x)=56 dacă x mod 4=1, t(x)=62 dacă x mod 4=2, t(x)=44 dacă x mod 4=3, 2019 mod 4 = 3, deci avem t(2019) = 44; (2) se considera ca sirul este dat de o functie f(x) de un anumit grad fixat (e.g., gradul 4).

Traian Dajma gaseste o alta regula generala de generare a numerelor din secventa, considerand insa un "factor" 2,2,4,4, ... Emil Claudiu Man da 2 solutii bazate pe observatii pe diferenta dintre numere. Postam mai jos ambele solutii.

Viorel Manta face o observatie interesanta:

E interesanta problema cand, in aceleasi conditii, pe ecran nu se afiseaza decat numerele incepand cu minutul 1 (56 in conditiile problemei, continuand apoi cu 62, 44 etc) .

Ce ar afisa atunci ecranul in min 2019?

Solutia este urmatoarea:

Avem un sir cu a1=56, a2=62, a3=44…

Observam ca a2-a1=6 si a2-a3=-18

Aceasta ne permite sa construim un sir care sa respecte regula si identificam sirul

ak=ak-1+(-1)k-1*6*(2k-3) cu k=2,3… si a1=56

Un xls mi-a returnat valoarea -12052 pt minutul 2019.

 

Traian Dajma:

Ratia sirului se obtine din scaderea unei diferente dintr-un numar: r = a - (b - c).

Se ajunge la aceasta concluzie din faptul ca (b - c) este cand pozitiv, cand negativ. Astfel, numerele sirului sunt cand mai mari decat numarul anterior, cand mai mici.

numere: 64, 56, 62, 44, ...

perioada: 0, 60, 60, 60, ...

factor: 2,2,4,4,2,2...

calcul: -, 56=60-(6-4)*2, 62=60-(5-6)*2, 44=60-(6-2)*4, ... 

1zi, 9h, 39' = =24*60+9*60+39 = 2019 minute.

Numar, zeci, unitati, perioada, factor, numar, perioada

64, 6, 4, 60, 2, 56, 0

56, 5, 6, 60, 2, 62, 1

62, 6, 2, 60, 4, 44, 2

44, 4, 4, 60, 4, 60, 3

60, 6, 0, 60, 2, 48, 4

48, 4, 8, 60, 2, 68, 5

... ... ...

Observam ca sirul este unul cu valori recurente. Valoarea cautata este 56.

 

Emil Claudiu Man:

1. La primul minut se scade 8 din numărul inițial, la minutul 2 se adună 6 la numărul de la primul minut, iar la minutul 3 se scade din numărul de minutul 2 18.

Se observă că la 3 minute avem cu 20 mai puțin decât numărul 64 afișat la început, dacă continuăm cu aceeași logică vom avea următoarea soluție:

1 zi, 9 ore și 39 minute=33*60+39=2019 minute, 2019:3=673, 64-673*20=-13396.

2. La primul minut se scade 8 din numărul inițial, la minutul 2 se adună 6 la numărul de la primul minut, iar la minutul 3 se scade din numărul de minutul 2 18.

Se observă că la 3 minute se scade un număr cu 10 mai mare decât numărul scăzut la minutul 1. Vom presupune că la minutul 4 se va aduna ca la minutul 2 de data asta ca la minutul 3 un număr cu 10 mai mare deci se va aduna 16 deci numărul de la minutul 4 va fi 60, iar dacă continuăm cu aceeași logică vom avea următoarea soluție:

1 zi, 9 ore și 39 minute=33*60+39=2019 minute, 2020:4=505, 64-505*20=-1956 numărul afișat la minutul 2020, la minutul 2019 va fi afișat -12052+10096=-1956