Problema a fost propusa de Zoltan Szabo, care a primit punctajul aferent acesteia (10 puncte). Multumim pentru propunere!

Soluţii corecte: Traian Dajma, Jean Henry Berevoescu, Stefan Gatachiu, Ady Nicolae, Mihaela Voinescu, Emil Claudiu Man.

 

Mihaela Voinescu:

Notam zilele saptamanii cu 0, 1, 2,..., 6, adica sunt de forma t mod 7

Pas1. Afirmatia 3 => cei 3 ani de nastere au acelasi numar de zile => nimeni nu e nascut in 1919 si

sau sunt toti nascuti in ani bisecti (366 zile), sau sunt toti nascuti in ani normali (365 zile)

Pas2. Anii de nastere sunt identici ca structura/zile ale sapt.

Presupunem prin absurd ca se nasc toti in ani normali (365 zile).

Daca

1 ianuarie este ziua 1 din an ----- corespunde zilei saptamanii t mod 7, atunci

1 aprilie este ziua 91 din an ----- corespunde zilei saptamanii t + 90 mod 7 = t+6 mod 7

1 iulie este ziua 182 din an ------ corespunde zilei saptamanii t+181 mod 7 = t+6 mod 7

Dar t mod 7 != (t+6) mod 7, adica 1 ianuarie nu cade in aceeasi zi a saptamanii ca 1 aprilie in anii normali. 

=> Presupunerea este absurda => Cei 3 sunt nascuti in ani bisecti.

Pas3. Afirmatia 4 => la momentul vorbirii, Calin are mai putin de 7-8 ani.  Tudor este major, parinte si informatician => anul vorbirii este mai mare de 1957 - 1961 (in 1945 primul calculator electronic din lume, 1957 - primul calculator in Romania).

Pas4. Anii bisecti se repeta ca structura la fiecare 28 de ani.

1 ianuarie creste cu 1 zi ca zi a saptamanii dupa un an normal, si cu 2 zile dupa unul bisect. Din 1920 -> in prezent anii bisecti sunt din 4 in 4 ani.

AN bisect 1 -> 1 ianuarie = t mod 7 ca zi a sapt

AN bisect 2 (peste 4 ani fata de anul anterior bisect) -> 1 ianuarie = t + 5 mod 7 ca zi a sapt

AN bisect x (peste 4*x ani fata de primul an bisect) -> 1 ianuarie = t + 5x mod 7 ca zi a sapt

Ca 1 ianuarie sa coincida => x trebuie sa fie multiplu de 7. => Anii bisecti se repeta ca structura la fiecare 28 de ani.

O solutie ar fi:

1 ianuarie 1948 - Bogdan, 71 ani

1 aprilie 1976 - Tudor, 43 ani

1 iulie 2004 - Calin, 15 ani

Anul vorbirii ar fi 2010, la 6 ani ai lui Calin, 1 Iulie cade in aceeasi zi a sapt. ca in anul nasterii.

 

Emil Claudiu Man:

Am studiat anii în tabelul următor anii care au calendare potrivite pentru fiecare zi a anului(3) și ziua din săptămână a fiecărui an în care sunt născuți cei 3 și am observat că doar în anii bisecți se îndeplinește condiția 2( Toți trei ne-am născut în aceeași zi a săptămânii). Din 4 ar rezulta că băiatul cel mic Călin căruia îi place să învețe poeziile de la grădiniță ar avea maxim 6 ani, de la 7 ani merge la școală. Am ales ca anul nașterii lui Călin 2012, anul în care Tudor face afirmațiile 2018, Călin având 6 ani în 2012, anul nașterii lui Tudor 1984, iar anul nașterii lui Bogdan 1956. Ar mai putea fii anul nașterii lui Tudor 1956, iar anul nașterii lui Bogdan 1928, dar atunci Tudor ar avea 62 de ani(puțin cam bătrân să fie informatcian), iar Bogdan 90 de ani cam bătrân să mai fie medic. Chiar dacă alegem alți ani bisecți vom avea acceași soluție: În anul când Tudor face aceste afirmatții: Călin va avea întotdeauna 6 ani, Tudor 34 de ani și Bogdan 62 de ani.