Soluţii corecte:  Jean Henry Berevoescu, Zoltan Szabo, Mihaela Voinescu, Viorel Manta, Ioan Scutaru, Traian Dajma, Aurel Ionescu, Stefan Gatachiu, Ady Nicolae.

 

Jean Henry Berevoescu:

Problema este una din familia Paradoxului Mincinosului/Minciunii (de genul “Aceasta propozitie este falsa”).

Problema esentiala in cazurile paradoxului amintit este ca exprimarea este ambigua. Din punct de vedere logic nu se testeaza nimic clar. O propozitie poate fi evaluata ca adevarata sau falsa, daca prezinta/contine un criteriu de evaluare. Dar propozitiile din sirul “Propozitia urmatoare este adevarata”...”Prima Propozitie este falsa” nu contin decit o referinta la o “urmatoare” propozitie.

Ori propozitia in sine este evaluata, ori referinta ei (“urmatoarea” din lista). Dar urmatoarea refera o alta propozitie si asa mai departe si totul in bucla (ultima refera prima propozitie etc).

Daca o luam in serios, ignoram inconsistenta constructiei si intelesului fiecarei propozitii si pornim de la prima propozitie ca a fi adevarata, pas cu pas ajungem la ultima, care invalideaza prima propozitie, continuind sirul in bucla a doua, toate urmatoarele propozitii sint falsificate, pina la ultima, care ne duce din nou la prima propozitie ca adevarata. Paradoxul ar fi ca intram intr-o iteratie infinita, cu fiecare traversare basculind intre adevar si fals.

Daca ne concentram pe inconsistenta constructiei logice, ajungem la concluzia ca propozitiile nu au sens in context logic: nu sint nici adevarate, nici false – sint nedefinite din punct de vedere logic.

Studiul problemei in lumina celor teoretizate de Tarski, Russell etc, ar indica o seama de alte probleme: de la lingvistica, la meta limbaje necesare pentru constructii mai consistente, ori pentru elminarea inconsistentelor etc. Dar concluzia ar terbui sa fie ca propozitiile sint nedefinibile din punct de vedere logic.

 

Zoltan Szabo:

1, Presupunem că propoziția de pe prima pagină este ADEVĂRATĂ

rezultă că propoziția de pe a doua pagină este ADEVĂRATĂ,

rezultă că propoziția de pe a treia pagină este ADEVĂRATĂ

...

rezultă că propoziția de pe pagina 99 este ADEVĂRATĂ

rezultă că propoziția de pe pagina 100 este ADEVĂRATĂ

dar pe pagina 100 scrie că propoziția de pe pagina 1 este FALSĂ

e contradicție.

2, Presupunem că propoziția de pe prima pagină este FALSĂ

rezultă că propoziția de pe a doua pagină este FALSĂ,

rezultă că propoziția de pe a treia pagină este FALSĂ,

...

rezultă că propoziția de pe pagina 99 este FALSĂ,

rezultă că propoziția de pe pagina 100 este FALSĂ,

dar pe pagina 100 scrie că propoziția de pe pagina 1 este FALSĂ, această propoziție fiind FALSĂ, rezultă că prpopoziția de pe prima pagină este ADEVĂRATĂ.

e contradicție.

Deducem că per ansamblu foile acestei cărți conțin propoziții fără valoare de adevăr (nici adevărat, nici fals). 

Acesta este un paradox.

 

În wikipedia la https://ro.wikipedia.org/wiki/Paradox

găsim problema noastră într-o formă simplificată:

Un exemplu de paradox, în acest caz un „cerc vicios”, este reprezentat de următoarele două afirmații:

„Următoarea afirmație este adevărată.”

„Afirmația precedentă este falsă.”

 

Mihaela Voinescu:

Notam Pi propozitia scrisa pe pagina i, i=1..100

 

Presupun prin absurd ca P1 adev. P1 adev => P2 adev =>...=>P100 adev => P1 falsa. Contradictie. Presupunerea este falsa.

Presupun prin absurd ca P1 falsa. P1 falsa => P2 falsa =>...=>P100 falsa => P1 adev. Contradictie. Presupunerea este falsa.

=>Nu se poate stabili valoarea de adevar a propozitiei P1.

 

Acelasi argument pentru Pi, i=2...99

Presupun prin absurd ca Pi adev. Pi adev => ... => P100 adev => P1 falsa => ... => Pi falsa. Contradictie. Presupunerea este falsa.

Presupun prin absurd ca Pi falsa. Pi falsa => ... => P100 falsa => P1 adev => ... => Pi adev. Contradictie. Presupunerea este falsa.

=>Nu se poate stabili valoarea de adevar a propozitiei Pi, i=2...99.

 

La fel pentru p=100

Presupun prin absurd ca P100 adev. P100 adev => P1 falsa => ... => P100 falsa. Contradictie. Presupunerea este falsa.

Presupun prin absurd ca P100 falsa. P100 falsa => P1 adev => ... => P100 adev. Contradictie. Presupunerea este falsa.

=>Nu se poate stabili valoarea de adevar a propozitiei P100.

 

Ioan Scutaru:

Am deschis  cartea la  prima pagina. Citesc: Propozitia de pe pagina urmatoare este adevarata.  Am trecut  la urmatoarea pagina. Citesc:  Propozitia de pe pagina urmatoare este adevarata. Am intors pagina cu  pagina. Nu se poate! Acelasi text: Propozitia de pe pagina urmatoare este adevarata.

Am fost tentat sa sar la ultima pagina dar m-am  razgandit. Am citit    pagina cu pagina in  speranta ca voi gasi altceva. Si-am gasit, tocmai la  ultima pagina, pagina 100.  Textul este cu totul altul: Propozitia tiparita pe prima pagina a cestei carti este falsa.

Deci asa! Dupa ce am citit pagina cu pagina sa constat ca la final ceea ceea ce pana aici era adevarat acuma, iata ca nu mai este!

Dupa un oftat lung am revenit la prima pagina, considerand adevarata propozitia de pe ultima pagina. Asadar ceea ce vad scris aici, pe  prima pagina: Propozitia de pe pagina urmatoare este adevarata,  nu mai este adevarata!   Si nici propozitia de pe adoua pagina si tot asa pana la pagina 99, propozitiile nu mai sunt adevarate!  Asadar si propozitia de la pagina 100:  Propozitia tiparita pe prima pagina a cestei carti este falsa, nu mai este adevarata.

Pe moment  am avut intentia de a arunca cartea! Dar un gand ma inghiontea. Daca propzitia de pe ultima pagina nu mai este adevarata inseamna ca propoztia de pe prima pagina este adevarata! Am reluat cititul de la prima pagina. Dupa cateva pagini mi-am dat seama ca am mai citit acest ”roman”  cu Propozitia de pe pagina urmatoare este adevarata. Am sarit la pagina 99, unde asa cum am vazut scris pana aici  propzitia de la pagina urmatoare este adevarata. Dezamagit am intors ultima pagina si este a dou aoara cand aflu  ca  Propozitia tiparita pe prima pagina a cestei carti este falsa, este adevarata!

Nu mai are rost sa mai continui,  sa ma amagesc, concluzia este clara, cand am luat de buna, adica adevarata propzitia de la pagina 100, toate celelate propzitii de la pagina  1 la 99 au devenit false, iar cand am zis ca prozitia de la pagina 100 este falsa atunci toate celelate propzitii au devenit  adevarate. Derutanta carte! Nu pot fi toate propzitiile adevarate  si nici false! Un paradox!

Raspuns: Propozitiile acestei carti nu sunt adevarate si nici false.