Problema a fost propusa de Zoltan Szabo, care a primit punctajul aferent acesteia (15 puncte). Mulţumim pentru propunere!

Soluţii corecte:  Stefan Gatachiu, Traian Dajma, Ioan Scutaru (partial), Emil Claudiu Man.

 

Stefan Gatachiu:

Am căutat mai întâi o soluție fără a ține cont de numărul maxim. Am făcut apoi corecții, adunând la numerele dintr-o cutie și scăzând din numerele din altă cutie aceeași cantitate și am obținut următoarea configurație a cutiilor:

Cutia 1: 966, 974, 982, 990, 998, 1006, 1014, 1022

Cutia 2: 578, 642, 706, 770, 834, 898, 962, 1026

Cutia 3: -2559, -2047, -1535, -1023, -511, 1, 513, 1025

Cutia 4: 1016, 1017, 1018, 1019, 1020, 1021, 1022, 1023

Cel mai mic număr pozitiv maxim este 1026.Numerele din cutia 1 cresc cu 8, cele din cutia 2 cu 64, iar cele din cutia 3 cu 512.

 

Traian Dajma:

Cea mai mare suma a celor 4 numere extrase din cele 4 urne, este 4096.

4096/4 = 1024. Cele 4 numere trebuie sa fie in jurul valorii 1024.

Suma maxima este 1021+1024+1025+1026=4096

Suma minima este 1014+968+577-2558=1

Cutia A: 1021, 1020, 1019, 1018, 1017, 1016, 1015, 1014

Cutia B: 1024, 1016, 1008, 1000, 992, 984, 976, 968

Cutia C: 1025, 961, 897, 833, 769, 705, 641, 577

Cutia D: 1026, 514, 2, -510, -1022, -1534, -2046, -2558

Ratia sirului: cutia A (1..1), cutia B (8..8), cutia C (64..64), Cutia D (512..512)
 

Emil Claudiu Man (partial postata rezolvarea aici):

Avem 4 cutii ori 8 bile, deci avem 8*8*8*8=4096 posibilități de a însuma cele 32 de bile.

Ca să obținem 4096 ca suma a 4 numere distincte astfel încât maximul celor 4 numere să fie minim, vom scrie 4096=1022+1023+1025+1026, 1026 fiind cel mai mic număr maxim care însumat cu alte 3 numere să aibă suma 4096.

Vom încerca pornind de la cele 4 numere să obținem și restul numerelor inscripționate pe bile. Am obținut 2 soluții prezentate mai jos.

Deocamdată avem cele în cele 4 cutii câte o bilă, astfel: 1022, 1023, 1025, 1026.

Ca să obținem 4095 va trebui să scădem un număr de pe aceste bile cu 1. Ca să avem numere distincte putem scădea doar din 1022 sau 1025. Am încercat să scad din 1022 obținând bila 1021 dar mai departe nu am reușit să alternez numerele astfel încât să nu se repete sumele. Astfel am scăzut din 1025 deci am obținut în urna 3 următoare bilă cu numărul 1024, suma celor 4 fiind (1022+1023+1024+1026=4095). Având în vedere că deja avem 2 combinații vom umbla în urna 2 unde vom putea scădea acum 2 obținând bila cu numărul 1021, iar astfel mai obținem încă 2 sume: 4094 și 4093.

Vom umple urna 2 scăzând cu 2 și vom obține în urna 2 următoarele numere: 1021,1019,1017,1015,1013,1011,1009.

Deci avem deja 1*8*2*1=16 combinații din cele 12 bile obținute până acum.

Am ajuns la 4081, ca să obținem 4080 vom trece la urna 1 unde avem bila cu numărul 1022, vom scădea 16 și astfel vom obține: 1006+1023+1025+1026=4080.

Vom continua la fel în urna 1 scăzând cu 16 și vom obține urna 1 compusă din numerele: 1022, 1006,990,974,958,942,926,910.

Deci acum avem 8*8*2*1=128 combinații din cele 19 bile obținute până acum.

Avem urna 1 și 2 umplute, vom trece la urna 4, unde trebuie să găsim o bilă astfel încât să obținem suma 3968, deci 3968-1022-1023-1025=898, adică o diferență de 128(exact cât cele 128 de combinații de până acum) între 1026 și 898. Vom continua să completăm urna 4 scăzând cu 128 și vom obține în urna 4: 1026,898,770,642,514,386,258,130.

Deci acum avem 8*8*2*8=1024 combinații din cele 26 bile obținute până acum.

Avem urna 1,2 și 4 umplute, vom trece la urna 3, unde trebuie să găsim o bilă astfel încât să obținem suma 3072, deci 3072-1022-1023-1026=1, adică o diferență de 1024(exact cât cele 1024 de combinații de până acum) între 1025 și 1. În urna 3 am alternat 1025,1024 acum vom avea 1,0 (încă 1024 combinații) apoi -1023,-1024 (încă 1024 combinații) și în final -2047,-2048(încă 1024 combinații). Deci urna 3 va conține bilele cu numerele 1025,1024,1,0,-1023,-1024,-2047,-2048.

Deci avem cele 4 urne:

1: 1008, 1010, 1012, 1014, 1016, 1018, 1020, 1022

2: 911, 927, 943, 959, 975, 991,1007, 1023

3: -2048, -2047, -1024, -1023, 0, 1, 1024, 1025

4: 130, 258, 386, 514, 642, 770, 898, 1026