Soluţii corecte: Aurel Ionescu, Cristian Daniel Balanoiu, Zoltan Szabo, Ady Nicolae, Emil Claudiu Man, Stefan Gatachiu, Viorel Manta

 

Zoltan Szabo:

Calculam toate valorile x^x ce ne pot sta la dispozitie:

1¹=1

2²=4

3³=27

4⁴=256

5⁵=3125

6⁶=46656

Obervam ca nicio cifra mai mare de 5 nu poate face parte din numarul de 4 cifre, pentru ca numarul de cifre a valorii x^x va avea mai mult e 4 cifre.

De asemenea se poate demonstra usor, ca daca toate cele patru cifre sunt mai mici decat 5 suma a^a+b^b+c^c+d^d va depasi 1000 numai in cazul cand toate cele patruvalori sunt egale cu 4 ceea ce este gresit, iar daca nu toate au valoarea 4, suma amintita nu va contine 4 cifre.

Deci avem o cifra 5, si nu putem avea doua cifre 5, pentru ca atunci din suma 5⁵+5⁵ > 6250 ar rezuta ca avem o cifra mai mare de 5.

Avem deci 5⁵=3125, si cum in numarul dat apare cifra 5 pe ultima pozitie, suma a celorlalte 3 puteri trebuie sa fie divizibila cu 10 (ca cifra 5 sa se pastreze in numar). 

Studiind ultimele cifre ale puterilor, singura combinatie valida este 7+7+6=20 (divizibilitate cu 10), adica este vorba de numerele 3, 3 si 4 la care adaugam cifra 5.

Intr-adevar 3³+3³+4⁴+5⁵=27+27+256+3125=3435,

Adica solutia este 3435 = 3³+4⁴+3³+5⁵

 

Emil Claudiu Man:

Am studiat cifrele ridicate la puteri egale cu ele și am observat că numărul N fiind de 4 cifre, putem folosi cifre doar până la 5, deorece 6⁶=46656 adică un număr de 5 cifre. E evident că trebuie să folosim cifra 5 deoarece din suma celorlalte cifre ridicate la puterile lor nu putem obține un număr de 4 cifre. Nu scrie nicăieri că cele 4 cifre trebuie să fie distincte. 

Soluția găsită de mine este: 3435=33+44+33+55

 

Viorel Manta:

E clar ca nici un numar nu poate fi 6 caci am obtine prin ridicare la putere un numar mai mare de 4 cifre.

Deci vom avea de ales dintre 1, 2, 3, 4 si 5,

Nu exista solutie pt 4 numere diferite din aceasta multime singura solutie identificata fiind

x=3, y=4, z=3 si t=5

adica 

3³ + 4⁴ + 3³ + 5⁵ = 27+256+27+3125 = 3435