Soluţii corecte: Zoltan Szabo, Aurel Ionescu, Adi Nicolae, Cristian Daniel Balanoiu, Emil Claudiu Man, Stefan Gatachiu

 

Zoltan Szabo:

Problema are un număr limitat de cazuri pentru soluții. Șirul de numere (2, 3, 4, 5, ,6 ,7 , 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31) are doar 29 de cazuri pentru două numere consecutive.

Dintre aceste nu pot forma soluțiile la care perechea de numere este formată din două valori  mai mici decât 31/2. Într-adevăr, un număr N nu poate fi nedivizibil cu d  și totuși divizibil cu 2d. 

Deci se exclud cazurile care se referă la perechile (2,3) (3,4) (4,5) (5,6) (6,7) (7,8) (8,9) (9,10) (10,11) (11,12) (12,13) (13,14) (14,15) (15,16) .

Pentru celelalte cazuri procedăm astfel: Fie perechea (d,d+1) , se calculeaza cel mai mic mutiplu comun al numerelor (2, 3, ..., d-1, d+2, ..., 31). Astfel obținem un număr ce va fi divizibil cu orice număr din această mulțime și nedivizibil cu d respectiv d+1.

De asemenea se vor exclude cazurile în care perechea (d,d+1) conține un număr compus, fără să fie putere de număr natural. Într-adevăr, dacă d=x*y cu cmmdc(x,y)=1, x>1, y>1, atunci dacă N este divizibil cu x și y, va fi divizibil și cu x*y=d.

Astfel excludem perechile: (17,18) (18,19) (19,20) (20,21) (21,22) (22,23) (23,24) (24,25) (25,26) (26,27) (27,28) (28,29) (29,30) (30,31)

Rămâne singura pereche validă (16,17).

cmmdc(2, 3, ..., 15, 18, 19, ..., 30, 31) = 2123581660200, nu este divizibil nici cu 16, nici cu 17.

Acest număr 2123581660200 este cea mai mică soluție cu această proprietate.

În general orice număr de forma 2123581660200*p, cu cmmdc(p,2)=1 și cmmdc(p,17)=1 este soluție.

 

Aurel Ionescu:

M=2^4*3^3*5^2*7*11*13*17*19*23*29*31 =72.201.776.446.800 este cel mai mic numar care este divizibil cu toate numerle de la 2 la 31

N=M/34= 2.123.581.660.200 este numarul cautat care se divide cu toate numerele de la 2 la 31 cu exceptia lui 16 si 17.

 

Cristian Daniel Balanoiu:

Vom scrie toate numerele prime cuprinse intre numerele 2 si 31.

Avem urmatoarele numere prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 si 31.

Se descompun toate numerele de la 2 la 31 in factori primi.

2=2

3=3

4=2∧2

5=5

6=2x3

7=7

8=2∧3

9=3∧2

10=2x5

11=11

12=2∧2x3

13=13

14=2x7

15=3x5

16=2∧4

17=17

18=2x3∧2

19=19

20=2∧2x5

21=3x7

22=2x11

23=23

24=2∧3x3

25=5∧2

26=2x13

27=3∧3

28=2∧2x7

29=29

30=2x3x5

31=31

Acum din aceste numere se cauta doua numere vecine care au in descompunerea lor cele mai mari puteri de numere prime  (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 si 31).

Se observa ca numerele 16 si 17 satisfac aceasta conditie.

Acum se calculeaza cel mai mic multiplu comun al numerelor 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,18,19,20,21, 22,23,24,25,26,27,28,29,30,31 ramase dupa excluderea numerelor 16 si 17.

C.m.m.m.c = 2∧3 x 3∧3 x 5∧2 x 7x 11 x 13 x 19 x 23 x 29 x 31 = 2 123 581 660 200