Soluţii corecte: Arthur Weber, Zoltan Szabo, Andrei Teodor Popa, Ionel Dobre, Aurel Ionescu, Ionel-Vasile Pit-Rada, Stefan Gatachiu

 

Arthur Weber:

Notăm seria biletului de metrou cu [abcdef]. Dacă a + b + c = d + e + f, atunci suma tuturor numerelor cu această proprietate este suma dintre toate numerele [abcdef], [defabc] şi [mnpmnp].
Pentru că [abcdef] + [defabc] = 1001 * ([abc] + [def]), iar [mnpmnp] = 1001 * [mnp], suma tuturor acestor numere are 1001 ca factor comun. 1001 = 13 * 11 * 7. Aşadar suma este divizibilă cu 13.

 

Zoltan Szabo:

sa consideram multimea tuturor numerelor de forma abcxyz, cu proprietatea ca a+b+c=x+y+z.

Este vorba de multimea completa a acestor numere. In suma ceruta fiecare numar de sase cifre se poate desface 1000*abc + xyz. Multimea tuturor numerelor cu repetari {abc} este echivalenta cu multime tuturor numerelor {xyz}, este vorba de aceleasi numere in alta ordine.

Fie suma acestor numere S.

Atunci suma tuturor numerelor va fi 1000*S+S=1001*S=7*11*13*S.

Deci suma noastra va fi divizibilila nu doar cu 13, dar si cu 7 si cu 11.

 

Andrei Teodor Popa:

Consideram ca numarul unui bilet de metrou este de forma abcdef. Deoarece este un numar intreg de 6 cifre, poate fi scris si sub forma:

1000 x abc + def

· atat abc cat si def consideram ca sunt numere intregi de cate 3 cifre

Avand in vedere ca:

a+b+c = d+e+f

Atunci si numarul de forma defabc va face parte din multimea numerelor ce respecta proprietatea data si poate fi scris sub forma 1000 x def + abc.

Adunand cele 2 numere, obtinem:

(1000 x abc + def) + (1000 x def + abc) = 1000 x abc + abc + 1000 x def + def = 1001 x (abc + def)

Avand in vedere faptul ca 1001 este divizibil cu 13 (dar si cu 7 si 11 :) ), suma tuturor perechilor de numere avand proprietatea data va fi divizibila cu 13.

 

Ionel-Vasile Pit-Rada:

Fiecare numar descris in enunt se poate scrie sub forma x*1000+y. Cand se aduna toate numerele din enunt, toate numerele cu cel mult trei cifre vor aparea in pozitia lui x si respectiv in pozitia lui y in numar egal de ori. Astfel ca suma totala va fi data de expresia S*1000+S=1001*S=13*11*7*S. Deci suma totala se imparte exact la 13 si se observa ca ea se imparte exact la toti divizorii lui 1001.