Soluţii corecte:  Ionel-Vasile Pit-Rada, Ioana Anca Ilie, Razvan Pricop, Zoltan Szabo, Stefan Gatachiu, Ionel Dobre, Andrei Teodor Popa, Emil Claudiu Man

 

Zoltan Szabo (fragment):

Familia de soluţii 1:

Pentru poligoanele convexe de latură 3, 4, şi 5 alese putem alege orice variantă de două poligoane stelate cu excepţia perechii de latură 6 şi 8 care au suma unghiurilor 105 grade şi ar exista suprapuneri de suprafeţe.

Alte familii de soluţii:

Astfel putem să generăm foarte multe soluţii prin combinări diferite de 3 poligoane regulate clasice şi 2 poligoane regulate stelate.

Soluţii ce acoperă toate cele 360 de grade:

1.  Alegând poligoanele regulate de latură 3, 4 şi 6 împreună cu poligoanele stelate regulate de latură 6 şi 12 obţinem pentru suma unghiurilor: 60+90+120+60+30=360 grade.

2. Alegând poligoanele regulate de latură 3, 4 şi 8 împreună cu poligoanele stelate regulate de latură 8 şi 12 obţinem pentru suma unghiurilor: 60+90+135+45+30=360 grade.

3. Alegând poligoanele regulate de latură 3, 6 şi 9 împreună cu poligoanele stelate regulate de latură 9 şi 18 obţinem pentru suma unghiurilor: 60+120+140+20+20=360 grade.

4. Alegând poligoanele regulate de latură 3, 6 şi 9 împreună cu poligoanele stelate regulate de latură 12 şi 36 obţinem pentru suma unghiurilor: 60+120+140+30+10=360 grade.

5. Alegând poligoanele regulate de latură 3, 6 şi 12 împreună cu poligoanele stelate regulate de latură 18 şi 36 obţinem pentru suma unghiurilor: 60+120+150+20+10=360 grade.

 

Razvan Pricop

Ideea principala a problemei este ca trebuie sa gasim 5 poligoane ale caror unghiuri sa fie cat mai mici, iar suma lor sa nu depaseasca 360. Primele 5 poligoane la care ne-am gandi ar fi triunghiul, patratul, pentagonul, hexagonul si heptagonul, toate acestea regulate. Masurile unghiurilor lor sunt: 60, 90, 108, 120, respectiv 158.14 grade. Se observa ca la adunarea primelor 5 unghiuri, suma deja trece peste 360, deci asta nu este solutia.


O solutie rapida ar fi sa acceptam existenta enagonului si a digonului. Cel putin, Wikipedia nu ne contrazice: 

In acest caz, am putea folosi: enagonul, digonul, triunghiul echilateral, patratul si pentagonul. Suma unghiurilor ar fi 258°


Cu toate acestea, nu cred ca autorul problemei se gandise la primul raspuns, asa ca daca analizam din nou cerinta vom observa ca ni se cer "poligoane regulate", dar nu se spune nimic despre natura poligonului: daca acesta este convex sau concav. Toate formele la care ne-am gandit pana acum au fost convexe, dar si poligoanele stelate pot fi regulate.

Pentru rezolvarea problemei am folosit doua poligoane stelate: pentagrama(cu unghiul interior de 36°) si heptagrama(cea care are unghiul interior de 25.71°)

Acum, problema este ca daca vrem sa punem cele 2 poligone in asa fel incat sa se intalneasca in varfuri, nu putem pur si simplu sa adunam unghiurile interne, deoarece laturile nu se vor alipi. Mai trebuie sa calculam acel extra-unghi al pentagramei, care este (108 - 36) / 2 = 36°. Unghiul total pe care il ocupa pentagrama este de 72°. Acum avem asa:

Heptagrama ocupa ~26°

Pentagrama ocupa 72°

Din 360° ne raman 262, care sunt indeajuns pentru triunghiul echilateral, patratul si pentagonul.

Raspuns final: Cele 5 poligoane regulate folosite au fost triunghiul echilateral, patratul, pentagonul regulat, pentagrama si heptagrama.

 

Ionel Dobre:

Din definitia poligonului regulat stim ca toate laturile trebuiesc sa fie egale si toate unghiurile egale.

Asta inseamna ca poligonul nu poate fi decat convex.

Unghiul unui poligon convex regulat este egal cu 180(n-2)/n

Asta inseamna ca pentru primele 5 poligoane regulate (care au unghiurile cele mai mici) vom avea:

Pentru

N=3    60 grade

N=4    90 grade

N=5    108 grade

N=6    120 grade

N=7    128.57 grade

Punand varfurile numai primelor4 poligoane suma unghiurilor va fi 378 grade> 360 grade deci nici vorba de al cincilea poligon convex regulat.

  Problema ar fi interesanta daca s-ar admite poligoane regulate stelate, obtinute din poligoane convexe regulate.

 Un poligon regulat stelat se obtine prin unirea punctelor de pe un cerc inpartit in n parti egale si unite intre ele din k in k puncte ( pentru K=1, adica unirea punctelor consecutive, se obtine un poligon regulat convex) unde 1

Pentru cazul general valoarea unghiului varfului poligonului regulat stelat este egal cu

 [360-(2k*360)/n]/2= 180* (n-2p)/n

Hexagonul nu poate fi poligon stelat pentru ca 6 nu este prim cu 2.

Heptagonul stelat poate fi construit cu k=2 sau k=3

Pentru k=2 unghiul va fi 77.14 grade

Pentru k=3 unghiul va fi 25.7 grade

Octogonul are n=8 iar k va fi 3

Unghiul va fi 45 grade

Revenind la problema noastra. Daca alegem poligoanele regulate convexe cu 3, 4 si 5 laturi ,suma unghiurilor la varf va fi 258 grade. Deci va trebui sa alegem doua poligoane regulate stelate a caror suma a unghiurilor sa fie mai mica de 102 grade pe care le intercalam intre cele trei poligoane.

Acestea pot fi un heptagon cu k=3 si un octagon cu k=3 , adica 25.7+45<102

Sigur pot fi mult mai multe solutii, acesta este numai un caz!

 

Andrei Teodor Popa:

Avand in vedere: - in jurul unui punct putem crea unghiuri a caror suma este max 360 grade - daca folosim doar poligoane convexe nu putem alege 5 figuri diferite deoarece suma unghiurilor in varf comun va depasi 360 grade deja din 4 figuri (triunghi, patrta, pentagon, hexagon) Solutia propusa este de a folosi o combinatie de poligoane convexe (triunghi, patrat, pentagon) si concave (stea in 5 colturi si stea in 6 colturi - binenteles regulate).

 

Ionel-Vasile Pit-Rada a dat o solutie interesanta si complexa (o excludem din considerente de spatiu)

 

Stefan Gatachiu:

Dacă se folosesc numai poligoane regulate convexe, suma unghiurilor din câte un vârf a oricăror 5 poligoane depășește 360ͦ. De aceea este nevoie și de poligoane regulate concave (sau stelate), mai precis un pentagon stelat și un hexagon stelat (sau o pentagramă și o hexagramă)

Poligon        Unghiul dintr-un vârf (în grade)

Triunghi echilateral        60

Pătrat        90

Pentagon regulat convex        108

Pentagramă        36

Hexagramă        60

     Total    354