Soluţii corecte: Claudiu Drăgan, Aurel Ionescu, Zoltan Szabo, Ady Nicolae, Ionel-Vasile Pit-Rada, Camelia Musetescu, Stefan Gatachiu, Emil Claudiu Man

 

Aurel Ionescu:

Fie numerele abcde si fghij

Din 1) => h,i sunt 8 sau 9

Din 2) => a=2, b=0, c=1 g,j=3,4 deci pentru c,d,e raman cifrele 5,6,7

Dar cum pe penultima pozitie a rezultatului avem 1 =>

Singura varianta este:

          20765 x

          13894

-------------------

          83060

       186885

     166020

     62295

    20765

-------------------

   288.498.910

 

si

         13894 x

         20765

-------------------

          69470

        83364

      97258

    27788

-------------------

  288.498.910

 

Ionel-Vasile Pit-Rada:

Fie A si B cele doua numere. Din a doua inmultire se observa ca a doua cifra din A este 0.

Daca A>=30000, atunci doar cifre 1 si 3 inmultite cu A pot da produse de cinci cifre si deci A<30000

Daca A<=10999, atunci orice cifra inmultita cu A va da un produs de cinci cifre si deci A>10999

Avem astfel 20000<=A<=20999. Primele cifre ale lui A sunt 2 si 0. Se observa ca doar cifrele 1,3 si 4 inmultite cu A dau produse de cinci cifre, deci 1,3,4 sunt cifre ale lui B. Celelalte doua cifre din B sunt dintre cifrele 5,6,7,8,9.

Daca B>=30000, atunci dintre cifrele posibile pentru A, 0,2,5,6,7,8,9, doar 0 si 2 dau inmultite cu B produse de cinci cifre, deci B<30000, adica 13000<=B<=19999

Cifrele 8 si 9 inmultite cu B dau produse de sase cifre si deci nu pot apare in A. Astfel am determinat ca cifrele lui A sunt 2,0,5,6,7 si cifrele lui B sunt 1,3,4,8,9. A este de forma 20abc si B este de forma 13def.

Se pot efectua acum cele 36 produse posibile si se observa ca doar pentru A=20765 si B=13894 se respecta proprietatea ca cifra zecilor produsului A*B sa fie egala cu 1.

Solutia problemei este perechea de numere A=20765 si B=13894.

 

Camelia Musetescu:

Notez, cele doua inmultiri, in ordinea data in enunt, cu varianta I si varianta II, iar numerele cu A si B.

Observatii: - din varianta II: - lipseste produsul al patrulea ⇒ A are a doua cifra 0;

                                                                                    ⇒sunt patru produse de cate 5 cifre ⇒ prima cifra a lui B este 1;

               - din varianta I: - mai sunt inca doua produse de cate 5 cifre, in afara celui care se obtine prin inmultirea cu 1⇒ prima cifra a lui A este 2;

                                      - a doua cifra a lui B este 3 sau 4, deoarece produsele corespunzatoare au cate 5 cifre, iar alte cifre mai mici nu sunt sau sunt deja folosite;

In acest moment, avem 2 situatii : A = 20XXX si B = 14XX3 sau A = 20XXX si B = 13XX4.

Situatia 1: A = 20XXX si B = 14XX3

               - din varianta II ⇒ avem produse de cate 5 cifre, deci trebuie sa punem cele mai mici cifre care au ramas in A, adica 5, 6 sau 7;

              - din varianta I ⇒ urmatoarele 6 cazuri posibile: A = { 20567, 20576, 20657, 20675, 20756, 20765} si B = 14XX3;

                                        - cum cifrele ramase nefolosite sunt 8 si 9 ⇒ B = 14893 sau B = 14983;

                                        - in niciun caz, rezultatul final nu va avea 1 pe pozitia zecilor.

Situatia 2:  A = 20XXX si B = 13XX4

               - raman aceleasi 6 posibilitati pentru A = { 20567, 20576, 20657, 20675, 20756, 20765} si 2 posibilitati pentru B = { 13894, 13984}, deci in total 12 posibilitati;

               - din varianta I : - ultima cifra a primului produs poate sa fie 0, 4 sau 8;

                                       - cifra transportata este in fiecare caz 2;

                                        - penultima cifra de la primul produs poate sa fie 0, 2 sau 6;

                                       - ultima cifra a celui de-al doilea produs poate sa fie 3 sau 5;

                                       - singura combinatie, astfel incat la rezultat sa apara cifra 1 pe pozitia zecilor, este 6 cu 5.

Numerele sunt A = 20765 si B = 13894.

 

Stefan Gatachiu:

Fie ABCDE și FGHIJ cele două numere. Notăm cu a) și b) cele două înmulțiri.

Din a) rezultă că B=0.

Cele 4 înmulțiri parțiale din b) au fiecare câte 5 cifre. Dacă F=2, atunci A, C, D, E ar putea lua valorile 1, 2, 3, 4 (nu neapărat în această ordine), dar atunci G minim este 5 și înmulțind un număr de forma 25xxx cu 4 se obține un număr de 6 cifre. Rezultă că F=1.

Din a), dacă A=3 (sau mai mare), atunci J=2, iar G minim este 4 și al patrulea produs parțial ar avea 6 cifre. Rezultă că A=2 și J=3, G=4 sau J=4, G=3.

Niciuna din cifrele C, D, E nu poate fi egală cu 8 sau 0, deoarece s-ar obține produse parțiale de 6 cifre la înmulțirea b). Rezultă că H=9, I=8 sau H=8, I=9.

Dacă G=4, atunci H minim este 8, dar înmulțind un număr de forma 148xx cu 7 (una din cefrele C, D, E) se obține un număr de 6 cifre. Deci G=3 și J=4.

În a) produsul 4×E poate fi 20, 24 sau 28, deci se adună 2 la produsul 4×D, ultima cifră obținută fiind 0, 4 sau 8, deci un număr par. Pentru ca cifra zecilor rezultatului să fie 1 trebuie ca ultima cifră a produsului I×E să fie impară. Acest lucru este posibil doar dacă I=9, E=5. Rezultă H=8, iar 4×D +2 să aibă ultima cifră 6. Rezultă D=6 și C=7.

Atunci, cele două numere sunt:

ABCDE=20765

FGHIJ=13894