Soluţii corecte: Ionel-Vasile Pit-Rada, Zoltan Szabo, Aurel Ionescu, Angela Sandu, Stefan Gatachiu, Emil Claudiu Man

 

Ionel-Vasile Pit-Rada:

Siretul porneste din S1, poate continua in n-1 moduri spre dreapta (D2,D3,...,Dn) , apoi poate continua in n-1 moduri spre stanga (S2,S3,...,Sn).

Siretul poate continua apoi in n-2 moduri spre dreapta (deoarece dintre D2,...,Dn o capsa este deja ocupata) si apoi poate continua in n-2 moduri spre stanga (deoarece dintre S2,...,Sn o capsa este deja ocupata).

Dupa k etape​ , siretul poate continua spre dreapta in n-1-k moduri (deoarece k capse sunt utilizate, dintre D2,...,Dn) si spre stanga in n-1-k moduri (deoarece sunt ocupate k capse dintre S2,...,Sn).

La final continuam spre dreapta cu D1.

Astfel obtinem (n-1)*(n-1)*(n-2)*(n-2)*...*(n-1-k))*(n-1-k)*...*2*2*1*1 = (n-1)! *(n-1)!  moduri de a lega siretul.

 

Zoltan Szabo:

Prima poziție este S1                                                                                                                      1 posibilitate  

A doua poziție este Dj₁ cu j1>1 și j1<=n                                                                                   (n-1)   posibilități 

Următoarea poziție este S_i1 cu i1>1 și i1<=n                                                                           (n-1)   posibilități 

Următoarea poziție este Dj2 cu j2>1 și j2<=n,   j2 <> j1                                                           (n-2)   posibilități 

Următoarea poziție este S_i2 cu i2>1 și i2<=n    i2 <> i1                                                           (n-2)   posibilități 

Următoarea poziție este Dj3 cu j3>1 și j3<=n,   j3 <> j1   j3 <> j2                                            (n-3)   posibilități 

Următoarea poziție este S_i3 cu i3>1 și i3<=n    i3 <> i1   i3 <> i2                                            (n-3)   posibilități 

...

Antepenultima poziție este Djn-1 cu jn-1>1 și jn-1<=n,   jn-1 <> jp , pentru orice p=1,n-2             1 posibilitate

Penultima poziție este S_in-1 cu in-1>1 și in-1<=n    in-1 <> ip, pentru orice p=1,n-2                     1 posibilitate 

Ultima poziție D1                                                                                                                           1 posibilitate  

 

Cazurile distincte de la un pas la altul se multiplică, neavând niciun element comun, deci numărul posibilităților distincte de a lega șiretul este:

1* (n-1)*(n-1)*(n-2)*(n-2)*...*3*3*2*2*1*1 *1 = (n-1)! * (n-1)! = ((n-1)!)²

 

Stefan Gatachiu:

Introducem șiretul prin S1. Cum introducerea șiretului se termină la D1, mai rămân n-1 capse prin care putem introduce șiretul în partea dreaptă. După introducerea șiretului, avem n-1 posibilități pentru a introduce șiretul într-o capsă din stânga. Apoi avem n-2 posibilități pentru a introduce șiretul în dreapta și tot n-2 posibilități pentru a introduce șiretul în stânga.

Continuând raționamentul și aplicând regula produsului în combinatorică, rezultă că șiretul se poate lega în [(n-1)!]² moduri distincte. (După ultima trecere a șiretului prin capsa rămasă liberă din stânga, șiretul se introduce în capsa D1).