Soluţii corecte: Aurel Ionescu, Anca Baltariga, Zoltan Szabo, Camelia Musetescu, Burlacu Bogdan, Stefan Gatachiu, Ionel-Vasile Pit-Rada, Adi Nicolae, Stefan Gatachiu, Emil Claudiu Man

 

Zoltan Szabo:

Problema are soluție unică: ABCD=1089 și X=9 și rezultă din înmulțirea 10989*9=98901.

Vom nota cu R trecerea peste ordin la efetuarea fiecărei înmulțiri cifră cu cifră.

Primele cifre studiate vor fi A şi X

1. Demonstrăm că dacă A=impar, atunci nu poate fi X număr par

A=impar, X=par

În egalitatea A_X_D * X = D_X_A ultima cifră a numărului din dreapta A=(D*X) mod 10. D*X este număr par pentru ca X este par, deci ultima cifră este pară, ceea ce e în contradicţie cu imparitatea lui A.

2. Cazul A=1, X=3

1_3_D * 3 = D_3_1

Avem (3*D) mod 10=1, deci D=7

1_3_7 * 3 = 7_3_1

la primele cifre avem 3*1 + R=7, dar R poate fi maxim 2. Deci nu avem soluţie pentru acest caz.

3. Cazul A=1, X=5

1_5_D * 5 = D_5_1

Avem (5*D) mod 10=1, nu avem soluţie pentru acest caz, pentru că numărul 5*D are ultima cifră 0 sau 5.

4. Cazul A=1, X=7

1_7_D * 7 = D_7_1

Avem (7*D) mod 10=1, deci D=3

1_7_3 * 7 = 3_7_1

la primele cifre avem 7*1  + R = 3. Nu avem soluţie pentru acest caz.

5. Cazul A=1, X=9

1_9_D * 9 = D_9_1

Avem (9*D) mod 10=1, deci D=9

1_9_9 * 9 = 9_9_1

la primele cifre avem 9*1  + R = 9. Rezultă că R=0

1B9C9 * 9 = 9C9B1

La înmulțirea cifrelor unităţilor avem R=8, pentru că 9*9=81

(9*C+ 8) mod 10 = B

 

La cifra cea mai semnificativă avem R=0, deci B poate fi doar 0 sau 1.

Dacă B=0, obţinem C=8 şi înmulțirea 10989*9=98901 este corectă.

Dacă B=1, nu avem soluţie.

6. Cazul A=3, X=3

3_3_D * 3 = D_3_3

Avem (3*D) mod 10=3, deci D=1. Nu se poate, D trebuie să fie mai mare decât A.

6. Cazurile A=3, X>=5 impar, respectiv A>=5 impar, X>=3 impar

Nu se poate, valoarea lui D=A*X + R >9 și va avea mai mult decât o cifră.

7. A=2 și X=2

2_2_D * 2 = D_2_2

Avem (2*D) mod 10=2, deci D=6. Nu se poate, la înmulțirea primelor cifre avem 2*2 + R = 6, dar R nu poate fi mai mare decât 1.

8. A=2 și X=3

2_3_D * 3 = D_3_2

Avem (3*D) mod 10 = 2, deci D=4. Această valoare nu ne convine la înmulțirea celei mai semnificative cifre.

9. A=2 și X=4

2_4_D * 4 = D_4_2

Avem (4*D) mod 10=2, deci D=8. La înmulțirea primelor cifre avem 2*4 + R = 8, deci R=0

2B4C8 * 4 = 8C4B2

Observăm că B>=3 pentru cădin  înmulțirea cifrelor unităților 8*4=32 obținem R = 3.

Dar pentru B>=3 la înmulțirea cifrei miilor avem 4*B avem trecere peste ordin>0.

10. A=2 și X>=5

2_X_D * X = D_X_2

Nu se poate, numărul va depăși 5 cifre.

11. A=4 și X=2

4_2_D * 2 = D_2_4

(2*D) mod 10=4

Valorile posibile ale lui D sunt 2 și 7.

Pe partea stângă a înmulțirii pe cifre avem: 4*2+R=D. De aici rezultă că D>=8, deci nu avem soluție.

12. A=4 și X>=3 sau A >=6 și X>=2

Numărul rezultat va depăși 5 cifre.

 

Alte cazuri nu mai există, avem o singură soluție corectă rezultată din înmulțirea 10989*9=98901.

Deci numărul ediției este ABCD=1089 iar X=9.

 

Camelia Musetescu:

ABXCD * X = DCXBA

Observatii: - A,D <>0;

                - C, B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

                 - X>1;

                 - u.c(X2 + {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}) = X;

                 - A*X <= D;

                 - u.c(D*X) = A⇒ daca X sau D sunt pare, atunci A o sa fie tot cifra para;

                                      ⇒daca X sau D sunt impare, atunci A o sa fie cifra impara.

In aceste conditii avem urmatoarele variante:

1. X=2 si A = {2, 4} ⇒ daca X=2 si A=2, atunci D=6, imposibil; 

                                 daca X=2 si A=4, atunci D= 8 sau 9, imposibil;

2. X=3 si A = {1, 3} ⇒ daca X=3 si A=1, atunci D=7, imposibil;

3. X=4 si A = {2} ⇒ D=8, imposibil;

4. X=5 si A = {1} ⇒ imposibil, deoarece u.c(D*5) <>1;

5. X=7 si A = {1} ⇒ imposibil, deoarece D = {7, 8, 9} si u.c(D*7)<>1;

6. X=9 si A = {1} ⇒ D = 9, B = 0 si C = 8.

Numarul ABCD este 1089 si X este 9.

 

Stefan Gatachiu

Problema revine la a reconstitui înmulțirea ABXCD × X = DCXBA.

Cum X ≥ 2, A nu poate avea valori mai mari sau egale cu 5, deoarece rezultatul produsului ar avea 6 cifre.

Dacă A = 4 atunci X = 2. Rezultă D = 2 sau D = 7. Dar 2A (plus eventual unități transportate de la înmulțirea precedentă)≥ 8.

Dacă A = 3 atunci X poate fi 2 sau 3.

Dacă X = 3, atunci D = 1 ceea ce nu se poate (din același motiv ca mai sus)

Dacă X = 2 atunci 2D este număr par și nu poate fi egal cu 3.

Dacă A = 2, atunci X poate fi 2, 3, 4.

            Dacă X = 4 rezultă D = 3 (nu se poate) sau D = 8. În acest caz orice valoare ar avea C, cifra din mijlocul produsului nu poate fi egală cu X, adică 4.

            Dacă X = 3 atunci D = 4, dar 3A (plus eventual unități transportate de la înmulțirea precedentă) ≥ 6, deci nu se poate.

            Dacă X = 2 atunci D = 1 (nu se poate) sau D =6. În acest caz ar trebui ca 2B≥20 pentru ca produsul să poată avea prima cifră din stânga 6. Dar 2B<20.

Rezultă că A = 1. Atunci avem cazurile:

X = 3, D = 7 – nu se poate

X = 7, D = 3 – nu se poate

X = 9, D = 9. B nu poate fi decât 0, pentru alte valori produsul ar avea 6 cifre. Atunci rezultă C =8.

Deci numărul ABCD este 1089 și X = 9.

            10989×9=98901