Soluţii corecte: Aurel Ionescu, Anca Baltariga, Zoltan Szabo, Camelia Musetescu, Burlacu Bogdan, Stefan Gatachiu, Ionel-Vasile Pit-Rada, Adi Nicolae, Stefan Gatachiu, Emil Claudiu Man
Zoltan Szabo:
Problema are soluție unică: ABCD=1089 și X=9 și rezultă din înmulțirea 10989*9=98901.
Vom nota cu R trecerea peste ordin la efetuarea fiecărei înmulțiri cifră cu cifră.
Primele cifre studiate vor fi A şi X
1. Demonstrăm că dacă A=impar, atunci nu poate fi X număr par
A=impar, X=par
În egalitatea A_X_D * X = D_X_A ultima cifră a numărului din dreapta A=(D*X) mod 10. D*X este număr par pentru ca X este par, deci ultima cifră este pară, ceea ce e în contradicţie cu imparitatea lui A.
2. Cazul A=1, X=3
1_3_D * 3 = D_3_1
Avem (3*D) mod 10=1, deci D=7
1_3_7 * 3 = 7_3_1
la primele cifre avem 3*1 + R=7, dar R poate fi maxim 2. Deci nu avem soluţie pentru acest caz.
3. Cazul A=1, X=5
1_5_D * 5 = D_5_1
Avem (5*D) mod 10=1, nu avem soluţie pentru acest caz, pentru că numărul 5*D are ultima cifră 0 sau 5.
4. Cazul A=1, X=7
1_7_D * 7 = D_7_1
Avem (7*D) mod 10=1, deci D=3
1_7_3 * 7 = 3_7_1
la primele cifre avem 7*1 + R = 3. Nu avem soluţie pentru acest caz.
5. Cazul A=1, X=9
1_9_D * 9 = D_9_1
Avem (9*D) mod 10=1, deci D=9
1_9_9 * 9 = 9_9_1
la primele cifre avem 9*1 + R = 9. Rezultă că R=0
1B9C9 * 9 = 9C9B1
La înmulțirea cifrelor unităţilor avem R=8, pentru că 9*9=81
(9*C+ 8) mod 10 = B
La cifra cea mai semnificativă avem R=0, deci B poate fi doar 0 sau 1.
Dacă B=0, obţinem C=8 şi înmulțirea 10989*9=98901 este corectă.
Dacă B=1, nu avem soluţie.
6. Cazul A=3, X=3
3_3_D * 3 = D_3_3
Avem (3*D) mod 10=3, deci D=1. Nu se poate, D trebuie să fie mai mare decât A.
6. Cazurile A=3, X>=5 impar, respectiv A>=5 impar, X>=3 impar
Nu se poate, valoarea lui D=A*X + R >9 și va avea mai mult decât o cifră.
7. A=2 și X=2
2_2_D * 2 = D_2_2
Avem (2*D) mod 10=2, deci D=6. Nu se poate, la înmulțirea primelor cifre avem 2*2 + R = 6, dar R nu poate fi mai mare decât 1.
8. A=2 și X=3
2_3_D * 3 = D_3_2
Avem (3*D) mod 10 = 2, deci D=4. Această valoare nu ne convine la înmulțirea celei mai semnificative cifre.
9. A=2 și X=4
2_4_D * 4 = D_4_2
Avem (4*D) mod 10=2, deci D=8. La înmulțirea primelor cifre avem 2*4 + R = 8, deci R=0
2B4C8 * 4 = 8C4B2
Observăm că B>=3 pentru cădin înmulțirea cifrelor unităților 8*4=32 obținem R = 3.
Dar pentru B>=3 la înmulțirea cifrei miilor avem 4*B avem trecere peste ordin>0.
10. A=2 și X>=5
2_X_D * X = D_X_2
Nu se poate, numărul va depăși 5 cifre.
11. A=4 și X=2
4_2_D * 2 = D_2_4
(2*D) mod 10=4
Valorile posibile ale lui D sunt 2 și 7.
Pe partea stângă a înmulțirii pe cifre avem: 4*2+R=D. De aici rezultă că D>=8, deci nu avem soluție.
12. A=4 și X>=3 sau A >=6 și X>=2
Numărul rezultat va depăși 5 cifre.
Alte cazuri nu mai există, avem o singură soluție corectă rezultată din înmulțirea 10989*9=98901.
Deci numărul ediției este ABCD=1089 iar X=9.
Camelia Musetescu:
ABXCD * X = DCXBA
Observatii: - A,D <>0;
- C, B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
- X>1;
- u.c(X2 + {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}) = X;
- A*X <= D;
- u.c(D*X) = A⇒ daca X sau D sunt pare, atunci A o sa fie tot cifra para;
⇒daca X sau D sunt impare, atunci A o sa fie cifra impara.
In aceste conditii avem urmatoarele variante:
1. X=2 si A = {2, 4} ⇒ daca X=2 si A=2, atunci D=6, imposibil;
daca X=2 si A=4, atunci D= 8 sau 9, imposibil;
2. X=3 si A = {1, 3} ⇒ daca X=3 si A=1, atunci D=7, imposibil;
3. X=4 si A = {2} ⇒ D=8, imposibil;
4. X=5 si A = {1} ⇒ imposibil, deoarece u.c(D*5) <>1;
5. X=7 si A = {1} ⇒ imposibil, deoarece D = {7, 8, 9} si u.c(D*7)<>1;
6. X=9 si A = {1} ⇒ D = 9, B = 0 si C = 8.
Numarul ABCD este 1089 si X este 9.
Stefan Gatachiu
Problema revine la a reconstitui înmulțirea ABXCD × X = DCXBA.
Cum X ≥ 2, A nu poate avea valori mai mari sau egale cu 5, deoarece rezultatul produsului ar avea 6 cifre.
Dacă A = 4 atunci X = 2. Rezultă D = 2 sau D = 7. Dar 2A (plus eventual unități transportate de la înmulțirea precedentă)≥ 8.
Dacă A = 3 atunci X poate fi 2 sau 3.
Dacă X = 3, atunci D = 1 ceea ce nu se poate (din același motiv ca mai sus)
Dacă X = 2 atunci 2D este număr par și nu poate fi egal cu 3.
Dacă A = 2, atunci X poate fi 2, 3, 4.
Dacă X = 4 rezultă D = 3 (nu se poate) sau D = 8. În acest caz orice valoare ar avea C, cifra din mijlocul produsului nu poate fi egală cu X, adică 4.
Dacă X = 3 atunci D = 4, dar 3A (plus eventual unități transportate de la înmulțirea precedentă) ≥ 6, deci nu se poate.
Dacă X = 2 atunci D = 1 (nu se poate) sau D =6. În acest caz ar trebui ca 2B≥20 pentru ca produsul să poată avea prima cifră din stânga 6. Dar 2B<20.
Rezultă că A = 1. Atunci avem cazurile:
X = 3, D = 7 – nu se poate
X = 7, D = 3 – nu se poate
X = 9, D = 9. B nu poate fi decât 0, pentru alte valori produsul ar avea 6 cifre. Atunci rezultă C =8.
Deci numărul ABCD este 1089 și X = 9.
10989×9=98901