Soluţie (Szabo Zoltan, Ady Nicolae):

După cum se știe, avem 9 pălării negre și 10 pălării albe.

Primul înțelept vede 9 pălării. El ar putea ghici culoarea doar în cazul în care vede 9 pălării negre, caz în care pălăria lui este albă. El însă afirmă, că „nu știe”, deci el vede cel puțin o pălărie albă.

Al doilea înțelept știe că cel din spatele lui vede cel puțin o pălărie albă. Dacă el ar vedea exclusiv pălării negre, atunci ar deduce cu ușurință, că pălăria lui este albă. El însă afirmă, că „nu știe”, deci și el vede cel puțin o pălărie albă.

Următorul înțelept știe și el, că cel din spatele lui vede cel puțin o pălărie albă. Dacă el ar vedea exclusiv pălării negre, atunci ar deduce, că pălăria lui este albă. Rezultă că și el vede cel puțin o pălărie albă.

...

Raționamentul se continuă la fel până la al 7-lea înțelept, care știe și el că cel din spatele lui vede cel puțin o pălărie albă. Dacă el ar vedea exclusiv pălării negre, atunci ar deduce, că pălărie lui este albă. Rezultă că și el vede cel puțin o pălărie albă.

Al 8-lea înțelept știe că cel din spatele lui vede cel puțin o pălărie albă. Dacă el a afirmat că „știe”, înseamnă că vede în fața lui numai pălării negre, deci are o pălărie albă.

Al 9-lea și al 10-lea înțelept au conștientizat că înțeleptul 8 vede numai pălării negre, deci vor afirma că "știu" culoarea pălăriei proprii.

 

Răspunsînțeleptul 8 are pălărie albă și înțelepții 9 și 10 au câte o pălărie neagră.

 

Cazul general: Dacă avem N înțelepți  cu N-1 pălării negre și N pălării albe, întotdeauna va exista cel puțin unul care își va cunoaște culoarea pălăriei.

Orice configurație conține cel puțin o pălărie albă și aplicând raționamentul de mai sus pentru o configurație oarecare de pălării, observăm că secvența de pălării de la sfârșitul șirului, constând dintr-o pălărie albă urmată numai de pălării negre va putea fi depistată de fiecare înțelept: astfel toți înțelepții care afirma că „nu știu”, vor depista în fața lor pe acei înțelepți care vor afirma că „știu”, iar înțelepții care afirmă că „știu”, vor avea informațiile necesare să deducă această afirmație.

Dacă ultimul înțelept are pălărie albă, atunci el va fi singurul care va afirma că „știe”, iar toți ceilalți nu-și vor cunoaște culoarea pălăriei proprii, dar vor ști, că ultimul înțelept va cunoaște cularea propriei pălării.

 

Variantă (Dan Florescu):

a) Daca primul ar fi vazut in fata sa toate cele 9 palarii negre, atunci ar fi stiut ca palaria sa este alba si-ar fi spus "Stiu". Faptul ca nu stie ce palarie are denota faptul ca in fata sa este cel putin o palarie alba.
Al doilea stie ca el sau altii din fata sa poarta o palarie alba. Daca toti cei din fata sa au palariile negre, atunci doar el mai poate avea palaria alba, si-ar spune ca stie culoarea palariei = alba. Daca vede la altii din fata lui cel putin o palarie alba, atunci va spune ca nici el nu stie ce palarie poarta.
S.a.m.d. procedeaza toti inteleptii. Abia al 8-lea vede in fata sa doar palarii negre. Cum inteleptul 7 anuntase ca vede in fata sa palarii albe prin "nu stiu", inteleptul 8 deduce ca el e singurul care are palaria alba si va spune ca stie culoarea palariei.
Inteleptul 9 chiar nu mai trebuie sa vada culoarea palariei celui din fata lui: el va sti ca toti cei dupa primul care spune "stiu" vor avea palariile negre.

b) Daca nici unul din primii 9 intelepti n-ar fi spus ca stie culoarea propriei palarii, asta ar fi insemnat ca al 10-lea (ultimul) are palaria alba. Culmea e ca el nu vede absolut nicio palarie dar e singurul care stie (de fiecare data !) ce palarie are. Asta se aplica pentru oricare n-1 

palarii negre si oricate palarii albe, nu doar pentru n=10.