Soluţii corecte:  Aurel Ionescu, Camelia Muşetescu, Zoltan Szabo, Angela Sandu, Pit-Rada Ionel Vasile, Emil Claudiu Man, Ştefan Gaţachiu, Marius Alecsandru.

1. Zoltan Szabo:

Fie n un număr natural și d divizorul lui. Atunci este adevărat că n mod d = 0, respectiv (n-1) mod d = d-1.

Numărul n=2520 este cel mai mic multiplu comun al numerelor 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. În consecință resturile împărțirilor prin 2, 3, 4, 5, 6., 7, 8, 9, 10 sunt 0.

Numărul n-1 = 2519 este numărul nostru căutat.

 

2. Ştefan Gaţachiu:

Fie N numărul căutat.

Atunci N=10c+9.

Pentru ca restul împărțirii lui N la 9 să fie 8, aranjăm numărul astfel:

N=9a+a+9=9(a+1)+a.

Rezultă că a=9b+8, deci N=90b+89.

Pentru ca restul împărțirii la 8 să fie 7, aranjăm numărul N astfel:

N=88(b+1)+2b+1.

Rezultă 2b+1=8c+7, deci b=4c+3 și atunci N=360c+359.

Scriem acum N=357(c+1)+3c+2.

Rezultă 3c+2=7d+6, deci c=(7d+4)/3. Atunci N=840d+839.

Dar N=6(140d+139)+5, deci se verifică condiția pentru împărțirea la 6.

N=5(168d+167)+4, deci se verifică condiția pentru împărțirea la 5.

N=4(210d+209)+3

N=3(280d+279)+2

N=2(420d+419)+1

Deci se verifică și celelalte condiții.

Pentru d=1 rezultă c=11/3, care nu este întreg.

Pentru d=2 rezultă c=6, iar N=2519.

Deci cel mai mic număr cerut este 2519.