O soluţie parţială a găsit Zoltan Szabo:

Dacă descompunem în factori primi, cele două numere sunt: 65536=216 respectiv 35721=36*72

Polinomul are gradul 6, deci are forma: P(X)=c*(X-p1)*(X-p2)*(X-p3)*(X-p4)*(X-p5)*(X-p6).

Pentru că polinomul are coeficienți întregi, iar cele două numere 65536 și 35721 nu au niciun divizor comun, rezultă, că c=1 sau c=-1.

Pentru c=1 şi P(X)=c*(X-p1)*(X-p2)*(X-p3)*(X-p4)*(X-p5)*(X-p6) trebuie să găsim două seturi de câte 6 numere cu produsele 65536 respectiv 35721, iar în cele două șiruri ordonate crescător termenii de pe aceeași poziție să aibă diferență constantă.

Astfel am găsit următoarele șiruri de numere pentru produsele:

35721=(-9)*(-3)*1*3*7*63         65536=(-8)*(-2)*2*4*8*64

respectiv     35721=(-63)*(-7)*(-3)*(-1)*3*9       65536=(-64)*(-8)*(-4)*(-2)*2*8

Datele de mai sus le-am copiat într-un tabel EXcel și am tot scăzut numere naturale până ce toți cei țase termeni au devenit numere prime. Apoi am găsit următoarele soluții:

Soluția 1:

P(X)=(X-79)*(X-23)*(X-19)*(X-17)*(X-13)*(X-7), cu   P(15)=65536 și P(16)=35721

deci numerele prime sunt  7, 13, 17, 19, 23, 79 iar a=15 și b=16.

Soluția 2:

P(X)=(X-103)*(X-47)*(X-43)*(X-41)*(X-37)*(X-31), cu   P(39)=65536 și P(40)=35721

deci numerele prime sunt  31, 37, 41, 43, 47, 103 iar a=39 și b=40.

Soluția 3:

P(X)=(X-41)*(X-97)*(X-101)*(X-103)*(X-107)*(X-113), cu      P(105)=65536 și P(104)=35721

deci numerele prime sunt 41,97,101,103,107,113 iar a=105 și b=104.

 

Din această rezolvare lipseşte însă o a patra soluţie:

P(X)=(X-13)(X-37)(X-41)(X-43)(X-47)(X-61), cu   a=45, b=40 şi rădăcinile 13, 37, 41, 43, 47, 61.

Poate era util să dau o limitare a numerelor prime (de tipul: toate rădăcinile sunt numere prime <70).