Soluţii corecte: Zoltan Szabo şi Emil Claudiu Man.

1. Zoltan Szabo:

Cele 17 numere din ordine nu pot fi prime. În acest sens am generat toate numerele prime mai mici decât 10000 şi am verificat acele perechi de prime consecutive care au diferenţa mai mare sau egală cu 18. 

Dintre foarte multe cazuri verificate, doar între numerele prime 2179 şi 2203 există 17 numere neprime din intervalul [2184,2200] care îndeplinesc condiţia că au cel puţin un alt număr din interval cu care nu este relativ prim. Dintre aceste numere doar două numere admit câte un singur număr cu care nu este relativ prim, şi anume: 

         - 2189 are divizor comun diferit de 1 doar cu numărul 2200;

         - 2197 are divizor comun diferit de 1 doar cu numărul 2184;

De aici deducem că toate modalităţile de aranjare ale dosarelor îl au ca prim dosar pe cel cu numărul 2189, iar ultimul va fi cel cu numărul 2197.

Cu ajutorul unui program backtracking am găsit 288 soluţii posibile.

De exemplu:

2189   2200   2185   2195   2190   2187   2193   2199   2196   2186   2188   2192   2194   2198   2191   2184    2197 

 

2. Emil Claudiu Man:

Am căutat un șir de 17 numere întregi consecutive care să nu fie prime. Între numerele prime de la 1 la 10.000 am găsit intervalele: 1130-1150, 1328-1360, 1638-1656, 1670-1692, 1952-1972, 2180-2202, 2312-2332, 2478-2502, 2558-2578, 2972-2998, 3090-3108, 3138-3162, 3228-3250, 3270-3298, ….. , 9698-9718

Cele 17 numere consecutive trebuie ca fiecare dintre ele să fie divizibile cu cel puțin unul din numerele prime până la 17, adică 2,3,5,7,11,13,17. Dacă e divizibil cu un număr prim mai mare decât 17 nu mai putem să găsim perechea lui pentru ca să fie îndeplintă condiția 1, de asemenea trebuie să avem grijă ca dacă unul dintre numere este divizibil cu unul dintre cele 7 nr prime să mai fie cel puțin încă un număr divizibil cu acel număr prim tot pentru a putea face o pereche pentru a îndeplini condiția 1. 

Am găsit următoarele șiruri de 17 numere consecutive, care sunt divizibile cu numerele 2,3,5,7,11,13,17: 

2184-2200, 5750-5766, 9110-9126, 9444-9460.

Am găsit soluția: 

2189	2200	2195	2185	2190	2193	2187	2199	2196	2194	2188	2186	2192	2198	2191	2184	2197
	11	5	5	5	3	3	3	3	2	2	2	2	2	7	7	13

Iar sub ele am scris cmmdc. Se observă unde avem divizori comuni consecutivi și identici, la numerele 2185,2190, 2187, 2199, 2194, 2188, 2186, 2192, putem inversa numerale și să obținem mult mai multe soluții, fiecare soluție făcând parte din șirul de numere întregi consecutive: 2184-2200.

 

La celelalte șiruri am avut numerele: 5759, 9119, 9451, numere la care nu le-am găsit pereche pentru a îndeplini condiția 1.

 

Notă (AA):

1. Iniţial, eu am găsit numai 3 soluţii. Din acest motiv, în concurs am cerut numai primul şi ultimul număr de dosar.

Văd acum că numărul soluţiilor este mult mai mare (288).

1. Următoarele secvenţe de 17 cifre sunt formate cu numerele din intervalul [27.830, 27.846], aşezate în oglindă cu secvenţele din problemă, modulo 30.030 = 2*3*5*7*11*13. Altfel spus, pentru fiecare număr A_i dintr-o secvenţă-soluţie, numărul corespunzător de aici va fi 30.030 – A_i.