Soluţia 1 (Szabo Zoltan, Ştefan Gaţachiu):

Sunt 10 deținuți și 11 pălării.

Gardianul poate așeza pălăriile pe capul deținuților în aranjamente de 11 luate câte 10 moduri distincte, ceea ce este un număr enorm de mare (39.916.800), deci problema se pate trata doar teoretic, nu și prin generarea tuturor cazurilor.

Deținuții se vor folosi de toate informațiile vizibile înspre față și auzite din spate.

În acest scop fiecărei culori i se asociază un număr natural de la 0 la 10.

Deținuții se vor folosi de paritatea unei permutări. Se poate demonstra, că dacă într-o permutare interschimbăm două elemente pi și pj, atunci se schimbă și paritatea permutării.

Permutările (p(1), p(2), ... , p(i-1), p(i), p(i+1), ... , p(j-1), p(j), p(j+1), ... , p(n)) și (p(1), p(2), ... , p(i-1), p(j), p(i+1), ... , p(j-1), p(i), p(j+1), ... , p(n)) au paritate diferită. Paritatea unei permutări este dată de numărul par sau numărul impar de inversiuni existente în permutare.

Fie șirul culorilor celor 11 pălării: c(0), c(1), c(2), c(3), c(4), c(5), c(6), c(7), c(8), c(9), c(10).

          Primul deținut (Alice) poartă pălăria cu culoarea c(1), ultimul deținut (Jean) poartă pălăria cu culoarea c(10). Pălăria cu culoarea c(0) este cea ascunsă. Acest șir formează o permutare a numerelor 0, 1, ... , 10.

Conform înțelegerii, primul deținut care vede 9 culori și deduce culorile celor două pălării pe care nu le vede, va alege ordinea celor două pălării nevăzute astfel, ca permutarea tuturor culorilor să fie permutare pară. El va rosti culoarea c'(1), alegere dintre c(1) și c(0). În varianta primului deținut culoarea ascunsă este c'(0)=c(1)+c(0)-c'(1). Șansa lui de supraviețuire este 50%.

Al doilea deținut aude culoarea c'(1), vede culorile c(3), c(4), ... , c(10). Deci are de ales dintre două culori posibile c'(0) și c(2), din care va alege varianta pentru care permutarea își păstrează paritatea – variantă unică.

La fel vor proceda toți deținuții: din două culori posibile au o variantă pentru o permutare pară și una pentru o permutare impară. Cu toții vor alege varianta permutării pare.

De exemplu, presupunem ordinea pălăriilor (5, 1, 0, 9, 10, 4, 7, 3, 8, 6, 2).

Primul deținut văzând culorile 0,9,10,4,7,3,8,6,2, are de ales dintre culorile 1 și 5. Numărul inversiunilor în permutarea (5, 1, 0, 9, 10, 4, 7, 3, 8, 6, 2) este 5+1+0+6+6+2+3+1+2+1=27, iar în permutarea (1, 5, 0, 9, 10, 4, 7, 3, 8, 6, 2) este 1+4+0+6+6+2+3+1+2+1=26. A doua permutare este pară, deci deținutul va rosti culoarea 5 și greșește! Dar în acest moment ceilalți deținuți vor ghici culoarea pălăriei proprii.

Al doilea deținut conșientizează că trebuie să aleagă dintre culorile 1 și 0, adică dintre permutările (1, 5, 0, 9, 10, 4, 7, 3, 8, 6, 2) și (0, 5, 1, 9, 10, 4, 7, 3, 8, 6, 2). După cum am văzut, prima permutare este pară, iar a doua permutare are numărul de inversiuni 0+4+0+6+6+2+3+1+2+1=25 deci este impară. Deci va alege culoarea 0.

La fel va proceda și deținutul al treilea, alegînd culoarea 9 în loc de 1. Deținutul al patrulea va alege culoarea 10 în mod unic. Următorul va alege 4, apoi 7, apoi 3, apoi 8, apoi 6, apoi 2.

Observăm, că în acest caz, deținuții vor muri, însă dacă gardianul ar fi distribuit pălăriile în configurația (1, 5, 0, 9, 10, 4, 7, 3, 8, 6, 2), atunci deținuții ar fi avut câștig de cauză.

În consecință, supraviețuirea tuturora depinde de paritatea permutării culorilor generate de gardian. În total sunt 11!= 39.916.800 cazuri, dintre care  19.958.400 sunt permutări pare, și tot atâtea permutări sunt impare.

Un procentaj mai bun nu se poate obține, fiindcă alegerea primului deținut nu poate fi îmbunătățită peste 50%.

 

Variantă (Ady Nicolae):

Alice are 50% şanse să ghicească culoarea pălăriei sale. Insă ceilalti 9 pot identifica culorile pălăriilor cu ajutorul informatiilor date de Alice.

Strategia este următoarea:

Pentru început, fiecărei pălării i se va asocia un număr (de la 1 la 11).

Să presupunem că Alice vede pe capetele celorlalti 9 pălăriile 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Ea deduce că pe propriul cap se poate afla pălăria 1 sau 2.

Vede pe capul lui Bob pălăria cu numarul 3.

Pentru că oricum ea nu are decat 50% şanse să-şi ghicească propria pălărie, va alege una din cele doua (1 sau 2) astfel încat să-i ajute pe ceilalti.

Ideea este de a păstra numărul inversiunilor permutărilor pare sau impare. Strategia şi-au stabilit-o in prealabil, evident.

Astfel, pentru inversiuni impare ale permutarii primelor trei palarii, Alice va striga 1.

Avem (2 1 3), deci o singura inversiune (2,1) pentru aceasta permutare.

 

Ce gandeste Bob? El vede culorile de pe capetele celorlalti 8, aude că Alice a strigat 1, deci pe capul său se poate afla 2 sau 3.

Dacă Alice ar fi vazut 2 pe capul său, atunci strigand 1 am avea  (3 1 2), permutare cu 2 inversiuni (3,1) si (3,2) deci un număr par de inversiuni. Caz imposibil.

Rezultă că Bob va striga 3.

 

Mai departe Claudiu, vede palariile din fața sa, aude ce au strigat Alice şi Bob şi deduce că pe propriul cap se poate afla una din 2 pălării: 2 sau 4.

Dacă pe capul său s-ar afla pălăria 2 atunci Alice ar fi avut situația (4 1 3), deci 2 inversiuni (4,1), (4,3) şi ar fi trebuit să strige 4 în loc de 1, obținând permutarea (1 4 3) care are o singură inversiune (4,3).

 Similar pentru ceilalți 7 prizonieri.

 

Soluție particulară:

Valabilă pentru cazul în care cei 10 deținuți pot spune mai mult decât un singur cuvânt (culoarea pălăriei), deşi în enunțul problemei nu se specific acest lucru.

Astfel, fiecare deținut va putea formula o propoziție din care să rezulte pe de o parte culoarea celui din fața sa, iar pe de altă parte culoarea propriei pălării.

Pentru prima parte a enunțului se vor realiza asocieri cu cele 11 culori, exemplu:

“Pălăria de pe capul meu este…” înseamnă că pălăria celui din fața mea este de culoare mov, de exemplu.“Am pe cap o pălărie de culoare…” se traduce prin culoarea verde celui din fața mea.

Si aşa mai departe, se stabilesc formulări pentru toate culorile.

 Exemplu:

“Am pe cap o pălărie de culoare roşie” se traduce prin “pălăria de pe capul meu este roşie, iar a celui din fața mea este verde.

 În ambele situații, Alice nu va putea decât să ghicească culoare sa. Iar cum cei 10 deținuți vor putea fi eliberați doar la pachet (toți 10 sau niciunul), şansele acestora de grațiere nu pot depăşi şansele lui Alice de a ghici propria pălărie. Deci, maxim 50%.

 

O idee interesantă , asemănătoare cu această soluţie particulară a dat şi Dan Florescu:

Pentru simplificarea raspunsului, voi asocia fiecare culoare cu cate-un numar, de la 1 la 10.
Alice (A) va vedea 8 numere, deci va avea de ales intre cele 2 care nu le vede: palaria ascunsa si a ei...
Pentru a vizualiza solutia completa, apasati aici.