Soluţii primite de la Zoltan Szabo, Aurel Ionescu, Camelia Muşetescu, Viorel Manta, Emil Claudiu Man.

1. Camelia Musetescu, Viorel Manta:

Notăm lungimile laturilor triunghiului cu a, b, c si lungimile laturilor dreptunghiului cu L, l, cu L>l.

Conditiile care trebuie sa fie indeplinite sunt:

1. Aria triunghiului = Aria dreptpunghiului ⇒ conform cu formula lui Heron, p*(p-a)*(p-b)*(p-c) = (L*l)²;

2. Perimetrul triunghiului = Perimetrul dreptunghiului ⇒ a+b+c = 2*(L+l) ⇒ (a+b+c) divizibila cu 2 si p = L+l;

3. a,b,c,L,l numere distincte, intregi pozitive;

4. Aria minima ⇒ L*l= minima; aria triunghi minima;

5. Din conditiile (1) si (2) ⇒ (L+l)*(p-a)*(p-b)*(p-c) = (L*l)² ⇒ (L*l)² divizibil cu (L+l);

Dând valori pentru l si L (l= 1,2,3...), care sa indeplineasca conditiiile (L*l)² divizibil cu (L+l) si L*l= minima, obtinem

l=12, L= 150 ⇒ p= 162, L*l= 1 800, (L*l)² = 3 240 000, 162*(162-a)*(162-b)*(162-c) = 3 240 000 ⇒ (162-a)*(162-b)*(162-c) = 20 000,  20 000= 2⁵ * 5⁴  = 5³ * 2⁵ * 5, deci a=37, b= 130, c= 157.

Aceste valori au fost obţinute cu xls de Viorel Manta sau program C++ de Zoltan Szabo.

2. Emil Claudiu Man:

Am folosit calculul ariei cu formula lui Heron A=radical din p(p-a)(p-b)(p-c), unde p=(a+b+c)/2

Cele două poligoane au aceeaşi arie şi acelaşi perimetru deci l*L= p(p-a)(p-b)(p-c) și 2(l+L)=a+b+c,

Pentru aria minimă am obținut următoarele numere 37,130,157 pentru a,b,c și 12,150 pentru l,L, aria este egală cu 18000, iar perimetrul este egal cu 324.

 

Răspunsul la întrebarea suplimentară (Zoltan Szabo, Aurel Ionescu, Emil Claudiu Man):

Nu există triunghi dreptunghic și dreptunghi cu aria și perimetrul egale.

 

Alte variante interesante (Zoltan Szabo):

1. Dacă nu se cere ca laturile să fie distincte atunci avm următoarele soluții:

((5,5,6),(2,6),(A=12),(P=16)),      ((13,20,21),(6,21),(A=126),(P=54))

2. Două triunghiuri și un dreptunghi cu arii și perimetre identice:

((42,327,351),     (162,201,357),     (17,343),     (A=5831),(P=720))

3. Triunghiuri cu aria și perimetrul valori egale

((6,8,10),(A=P=24)),      ((5,12,13),(A=P=30)),       ((9,10,17),(A=P=36)),       ((7,15,20),(A=P=42))