Soluţii corecte trimise de Aurel  Ionescu, Viorel Manta,  Zoltan Szabo, Claudiu Emil Man, Marius Alecsandru.
 

  1. Soluţia 1 (Viorel Manta, Aurel Ionescu, Marius Alecsandru):
    Din problema rezulta ca suma in dinari obtinuta din vanzarea camilelor este patrat perfect, in care ultima cifra este nenula iar cifra zecilor este un numar impar (altfel oile ar putea fi impartite in mod egal intre

cei 2). Cum un patrat perfect se termina cu 1,4,5,6 sau 9, ultimele doua cifre pot fi numai

           11  14  15  16  19

           31  34  35  36  39

          51  54  55  56  59

          71  74  75  76  79

          91  94  95  96  99

 Singurul patrat perfect care are ca ultime doua cifre unul din numerele din tablou este 676=262. Deci un caine este evaluat la 4 dinari; in acest mod, Ali primeste 34 oi iar Ahmed - 33 oi (a 10 dinari oaia), o capra (de 6 dinari) si un caine (4 dinari).

  1. Soluţia 2 (Zoltan Szabo, Claudiu Emil Man):

Frații au avut n cămile, o cămilă costă deci n dinari. Suma totală este n2. Din această sumă s-au cumpărat (n div 10) = 2k+1 oi (număr impar, pentru că nu au putut efectua o împărție la doi perfectă). Prețul caprei este (n mod 10) dinari.

Vom studia un număr de forma 10a+b, cu cel puțin o cifră, (b<10, a,b numere naturale) și verificăm pentru ce valori avem în pătratul numărului număr impar la cifra zecilor.

(10a+b)2=100a2+20ab+b2

Termenul 100a2 nu afectează cifra zecilor.

Termenul 20ab=10*2ab nu afectează paritatea cifrei zecilor, având pe poziția respectivă un număr par.

Termenul b2 are 10 valori distincte. Este singurul termen de care depinde paritatea cifrei zecilor:

02=00

12=01

22=04

32=09

42=16

52=25

62=36

72=49

82=64

92=81

Pentru pătratele de o singură cifră am evidențiat 0-ul nesemnificativ pe poziția zecilor.

Observăm că sunt doar două cifre pe care ridicând la pătrat, cifra zecilor este impară: 4 și 6.

În ambele cazuri prețul caprei este 6 dinari, deci cățelul costă 4 dinari, diferența până la 10 dinari.

Într-adevăr, avem mai jos toate valorile posibile de cămile și valoarea lor. În toate cazurile avem prețul caprei 6, iar numărul oilor impar.

nr camile

pret camile

nr oi

pret capră

preț cățel

4

16

1

6

4

6

36

3

6

4

14

196

19

6

4

16

256

25

6

4

24

576

57

6

4

26

676

67

6

4

34

1156

115

6

4

36

1296

129

6

4

44

1936

193

6

4

46

2116

211

6

4

54

2916

291

6

4

56

3136

313

6

4

64

4096

409