Soluţii corecte trimise de Aurel Ionescu, Viorel Manta, Zoltan Szabo, Claudiu Emil Man, Marius Alecsandru.
cei 2). Cum un patrat perfect se termina cu 1,4,5,6 sau 9, ultimele doua cifre pot fi numai
11 14 15 16 19
31 34 35 36 39
51 54 55 56 59
71 74 75 76 79
91 94 95 96 99
Singurul patrat perfect care are ca ultime doua cifre unul din numerele din tablou este 676=262. Deci un caine este evaluat la 4 dinari; in acest mod, Ali primeste 34 oi iar Ahmed - 33 oi (a 10 dinari oaia), o capra (de 6 dinari) si un caine (4 dinari).
Frații au avut n cămile, o cămilă costă deci n dinari. Suma totală este n2. Din această sumă s-au cumpărat (n div 10) = 2k+1 oi (număr impar, pentru că nu au putut efectua o împărție la doi perfectă). Prețul caprei este (n mod 10) dinari.
Vom studia un număr de forma 10a+b, cu cel puțin o cifră, (b<10, a,b numere naturale) și verificăm pentru ce valori avem în pătratul numărului număr impar la cifra zecilor.
(10a+b)2=100a2+20ab+b2
Termenul 100a2 nu afectează cifra zecilor.
Termenul 20ab=10*2ab nu afectează paritatea cifrei zecilor, având pe poziția respectivă un număr par.
Termenul b2 are 10 valori distincte. Este singurul termen de care depinde paritatea cifrei zecilor:
02=00
12=01
22=04
32=09
42=16
52=25
62=36
72=49
82=64
92=81
Pentru pătratele de o singură cifră am evidențiat 0-ul nesemnificativ pe poziția zecilor.
Observăm că sunt doar două cifre pe care ridicând la pătrat, cifra zecilor este impară: 4 și 6.
În ambele cazuri prețul caprei este 6 dinari, deci cățelul costă 4 dinari, diferența până la 10 dinari.
Într-adevăr, avem mai jos toate valorile posibile de cămile și valoarea lor. În toate cazurile avem prețul caprei 6, iar numărul oilor impar.
nr camile |
pret camile |
nr oi |
pret capră |
preț cățel |
4 |
16 |
1 |
6 |
4 |
6 |
36 |
3 |
6 |
4 |
14 |
196 |
19 |
6 |
4 |
16 |
256 |
25 |
6 |
4 |
24 |
576 |
57 |
6 |
4 |
26 |
676 |
67 |
6 |
4 |
34 |
1156 |
115 |
6 |
4 |
36 |
1296 |
129 |
6 |
4 |
44 |
1936 |
193 |
6 |
4 |
46 |
2116 |
211 |
6 |
4 |
54 |
2916 |
291 |
6 |
4 |
56 |
3136 |
313 |
6 |
4 |
64 |
4096 |
409 |