Am primit soluţii complete de la Zoltan Szabo, Emil Claudiu Man, Aurel Ionescu, Mihai Alecsandru şi Ştefan Gaţachiu.

1. Soluţia 1 (Ştefan Gaţachiu, Zoltan Szabo):

Vom face întâi precizarea că cheia soluţiei este că a treia cântărire este întotdeauna corectă. În caz contrar primele două cântăriri vor fi sigur corecte şi moneda mai grea poate fi determinată numai din primele două cântăriri, fără a mai avea nevoie de a treia cântărire.

Împărţim cele 9 monede în grupe de câte trei şi le notăm (a1,a2,a3), (b1,b2,b3), (c1,c2,c3).

Aşezăm monedele (a1,a2,a3) pe talerul stâng şi (b1,b2,b3) pe talerul drept.

Avem situaţiile:

1. – balanţa se înclină (putem presupune că talerul stâng este mai greu). Atunci:

- dacă balanţa măsoară corect, moneda mai grea se află în grupul (a1,a2,a3)

- dacă balanţa măsoară greşit, moneda mai grea se află în grupul (c1,c2,c3)

Efectuăm a doua cântărire punând pe fiecare taler câte o monedă din cele două grupuri: (a1,c1) pe talerul stâng şi (a2,c2) pe talerul drept.

1.1 – balanţa se înclină spre stânga. Atunci:

- dacă ambele cântăriri au fost corecte, atunci moneda mai grea este a1

- dacă a doua cântărire este incorectă, atunci moneda mai grea este a3

- dacă prima cântărire este incorectă, atunci moneda mai grea este c1.

1.2. – balanţa este echilibrată. Atunci:

- dacă ambele cântăriri sunt corecte, atunci moneda mai grea este a3

- dacă a doua cântărire este incorectă. Atunci moneda mai grea este a2

- dacă prima cântărire este incorectă, atunci moneda mai grea este c3.

Pentru a stabili care cântărire este incorectă şi care este moneda mai grea efectuăm a treia cântărire, punând a1 pe talerul stâng şi c1 pe cel drept.

- dacă talerul din stânga e mai greu, atunci toate cântăririle au fost corecte şi moneda mai grea este a1

- dacă balanţa este echilibrată, atunci a doua cântărire a fost incorectă şi moneda mai grea este a2

- dacă talerul din dreapta este mai greu, atunci prima cântărire a fost incorectă şi moneda mai grea este c1

2. – balanţa este echilibrată. Atunci:

- dacă balanţa măsoară corect, atunci moneda mai grea se află în grupul (c1,c2,c3)

- dacă balanţa măsoară incorect, atunci moneda mai grea se află în grupul (b1,b2,b3)

În continuare se procedează ca în cazul 1, înlocuind monedele (a1,a2,a3) cu (b1,b2,b3).

2. Soluţia 2 (Man Emil Claudiu):

Numerotam monedele cu 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Cu 1,2,3 boldat notam cele 3 cantariri.

Cantarim 1234 cu 5678. Vom avea 3 cazuri:

A.1: 1234 > 5678

    2. Vom cantari 1256 cu 3478 vom avea 3 cazuri din nou:

       2.a) 1256 > 3478 (Daca cantarirea 1 este gresita atunci 1234=5678 deci ar fi si cantarirea 2 gresita (imposibil), deci cele 2 cantariri sunt corecte, iar 1 sau 2 sunt monedele mai grele).

   3. Vom cantari 1 cu 2

             3.a) 1>2 rezulta 1 moneda grea (nicio cantarire gresita)

             3.b) 1<2 rezulta 2 moneda grea (nicio cantarire gresita)

             3.c) 1=2 rezulta 2 moneda grea (iar cantarirea 3 este gresita)

      2.b) 1256 < 3478  (Daca cantarirea 1 este gresita atunci 1234=5678 deci ar fi si cantarirea 2 gresita (imposibil), deci cele 2 cantariri sunt corecte, iar 3 sau 4 sunt monedele mai grele)

    3. Vom cantari 3 cu 4

              3.a) 3>4 rezulta 3 moneda grea (nicio cantarire gresita)

              3.b) 3<4 rezulta 4 moneda grea (nicio cantarire gresita)

              3.c) 3=4 rezulta 4 moneda grea (iar cantarirea 3 este gresita)

        2.c) 1256 = 3478 (In acest caz nu pot fi ambele cantarire corecte pentru ca se exclude una pe alta. Daca cantarirea 1 este gresita atunci 1234=5678, iar daca cantarirea 2 este gresita monedele 3 sau 4 mai grele decat restul monedelor)

      3. Vom cantari 3 cu 4

              3.a) 3>4 rezulta 3 moneda grea (iar cantarirea 2 este gresita)

              3.b) 3<4 rezulta 4 moneda grea (iar cantarirea 2 este gresita)

              3.c) 3=4 rezulta 9 moneda grea (iar cantarirea 1 este gresita)

B. 1: 1234 < 5678

     2. Vom cantari 1256 cu 3478 vom avea 3 cazuri din nou:

        2.a) 1256 < 3478 (Daca cantarirea 1 este gresita atunci 1234=5678 deci ar fi si cantarirea 2 gresita (imposibil), deci cele 2 cantariri sunt corecte, iar 7 sau 8 sunt monedele mai grele)

     3. Vom cantari 7 cu 8

            3.a) 7>8 rezulta 7 moneda grea (nicio cantarire gresita)

            3.b) 7<8 rezulta 8 moneda grea (nicio cantarire gresita)

            3.c) 7=8 rezulta 8 moneda grea (iar cantarirea 3 este gresita)

        2.b) 1256 >3478 (Daca cantarirea 1 este gresita atunci 1234=5678 deci ar fi si cantarirea 2 gresita (imposibil), deci cele 2 cantariri sunt corecte, iar 5 sau 6 sunt monedele mai grele)

      3. Vom cantari 5 cu 6

              3.a) 5>6 rezulta 5 moneda grea (nicio cantarire gresita)

              3.b) 5<6 rezulta 6 moneda grea (nicio cantarire gresita)

              3.c) 5=6 rezulta 6 moneda grea (iar cantarirea 3 este gresita)

        2.c) 1256 = 3478 (In acest caz nu pot