Am primit soluţii complete de la Aurel Ionescu şi Zoltan Szabo.

Parţiale: de la Viorel Manta, Duda Ionuţ, Cristian Bălănoiu.

Soluţia 1 (Aurel Ionescu):

1. Cum numarul cartilor este sub 100 si 1²+2²+3²+4²+5²+6²=91 vom avea maxim 6 copii.

Cazul 1. Daca ambele fete castiga jocuri singura varianta este 4+5=1+2+6 si 16+25=1+4+36

Cazul 2. Daca doar o fata castiga 6=1+2+3 nu verifica suma patratelor

Deci fetele castiga 4 si 5 jocuri iar cei 3 baieti 1,2 si 6 jocuri fiecare echipa cate 41 de carti deci au fost oferite 82

 

2.Deci fetele castiga 500=2*2*5*5*5  carti. Numarul maxim  de jocuri ce poate fi castigat e 22.

Cazul 1- o fata nu se poate (500 nu e patrat perfect) - 0 solutii

Cazul 2 – doua fete avem 500=484+16=400+100

22+4=26, 20+10=30                                                          - 0 solutii
Cazul 3- trei fete 500=400+64+36=256+144+100

20+8+6=34, 16+12+10=38=19+9+7+3 si 500=361+81+49+9 -  1 solutie (3 fete – 4 baieti)

Cazul 4 – patru fete

500=441+49+9+1=361+81+49+9=289+121+81+9=256+144+64+36=225+169+81+25

21+7+3+1=32,19+9+7+3=38,17+11+9+3=40,16+12+8+6=42=15+13+9+5- 1 solutie (4 fete – 4 baieti)

Cazul 5 - cinci fete

500=361+64+49+25+1=289+169+25+16+1=289+121+49+25+16=289+121+64+25+1=256+169+49+25+1=225+144+121+9+1=225+169+81+16+9=225+144+81+49+1=225+121+81+64+9

19+8+7+5+1=40=17+11+9+3 si 500=289+121+81+9 1 solutie (5 fete – 4 baieti)

Cazul 6 –sase fete

500=400+49+25+16+9+1=361+100+25+9+4+1=361+64+49+16+9+1=324+81+49+36+9+1=289+100+81+25+4+1=289+121+49+36+4+1=289+121+64+16+9+1=289+81+64+49+16+1=289+100+49+36+25+1=256+169+49+16+9+1=256+121+64+49+9+1=256+121+81+25+16+1=225+196+49+25+4+1=225+169+64+25+16+1=225+144+81+25+16+9=225+121+100+49+4+1=225+121+64+49+25+16=225+100+81+49+36+9=196+169+121+9+4+1=196+169+100+25+9+1=196+169+81+49+4+1=196+121+100+49+25+9=169+144+121+49+16+1=169+121+100+49+36+25=169+121+81+64+49+16

19+8+7+4+3+1=42=15+13+9+5 si 500=225+169+81+25  - 1 solutie (6 fete – 4 baieti)

17+10+7+6+5+1=46=15+11+9+8+3  si 500=225+121+81+64+9 - 1 solutie (6 fete – 5 baieti)

17+11+7+6+2+1=44=15+13+9+4+3  si 500=225+169+81+16+9 - 1 solutie (6 fete – 5 baieti)

Cazul  7 – sapte fete

500=361+64+36+25+9+4+1=361+49+36+25+16+9+4=324+121+25+16+9+4+1=324+81+49+25+16+4+1=289+100+81+16+9+4+1=289+121+36+25+16+9+4=289+100+49+36+16+9+1=289+81+64+36+25+4+1=289+81+49+36+25+16+4=256+169+36+25+9+4+1=256+144+49+25+16+9+1=256+121+49+36+25+9+4=256+100+81+49+9+4+1=256+81+64+49+25+16+9=225+196+49+16+9+4+1=225+169+49+36+16+4+1=225+121+100+25+16+9+4=225+121+64+49+36+4+1=225+100+81+49+25+16+4=225+100+64+49+36+25+1=196+169+81+25+16+9+4=196+169+64+36+25+9+1=196+144+121+25+9+4+1=196+144+81+49+25+4+1=196+100+81+64+49+9+1=169+144+121+36+25+4+1=169+144+100+49+25+9+4=169+121+81+64+36+25+4=169+100+81+64+49+36+1=144+121+100+81+49+4+1=144+121+81+64+49+25+16  - 0 solutii

Cazul  8 – opt fete

500=289+81+64+36+16+9+4+1=256+81+64+49+36+9+4+1=225+144+49+36+25+16+4+1=225+121+64+36+25+16+9+4=225+100+64+49+36+16+9+1=225+81+64+49+36+25+16+4=196+144+81+49+16+9+4+1=196+100+81+49+36+25+9+4=169+144+81+49+36+16+4+1=169+144+100+36+25+16+9+1=169+144+64+49+36+25+9+4=169+121+100+64+25+16+4+1=169+100+81+64+36+25+16+9=144+121+100+81+25+16+9+4=144+121+100+64+36+25+9+1=144+121+100+49+36+25+16+9=144+121+81+64+49+36+4+1=144+100+81+64+49+36+25+1  - 0 solutii

Cazul 9 - noua fete

500=144+121+81+64+36+25+16+9+4=144+100+81+64+49+36+16+9+1  - 0 solutii

Cazul 10 - zece fete

500=196+100+64+49+36+25+16+9+4+1  - 0 solutii

Cazul 11 nu exista suma=500 - 0 solutii.

Deci avem in total 12 solutii pentru ca evident acestea sunt valabile si inversand numarul de fete-baieti.

 

Soluţia 2 (Zoltan Szabo):

1. Numărul total al cărților nu depășește 100, dar este un număr par, pentru că fetele și băieții au primit un număr egal de cărți. Aceste numere se obțin ca sumă de numere distincte ale numerelor 1,4,9,16,25,36,49. Niciuna din grupe nu putea obține mai mult de 50 cărți. Știm că sunt exact două fete, deci ne putem folosi de această informație, încercând să găsim o combinație cu sumă identică din celelalte pătrate.

49+1=50=9+16+25

36+9=45=16+25+4

36+4=40=nu există

36+1=37=nu există

25+16=41=36+4+1

25+9=34=nu există

25+4=29=nu există

25+1=26=nu există

16+9=25=nu există

16+4=20=nu există

16+1=17=nu există

9+4=13=nu există

9+1=10=nu există

4+1=5=nu există

Pentru pătratele numerelor avem 3 variante din care doar o variantă respectă condiția sumei numerelor neridicate la pătrat.

49+1=50=9+16+25            7+1=8 <> 12=3+4+5

36+9=45=16+25+4            6+3=9 <> 11=4+5+2

25+16=41=36+4+1            5+4=9  =  9=6+2+1

În consecință la premiere au fost oferite 41+41=82 de cărți.

 

2. Pentru a găsi toate soluțiile în care s-au oferit exact 1000 de cărți am scris un program C++ și am găsit 6 perechi de mulțimi de numere ce furnizează 12 soluții distincte, ținând cont, că premiile se pot oferi atât "băieților și fetelor" cât și "fetelor și băieților".

1. (1 2 6 7 11 17)  și (3 4 9 13 15)

2. (1 3 4 7 8 19 )  și (5 9 13 15)

3. (1 5 6 7 10 17) și (3 8 9 11 15)

4. (1 5 7 8 19) și (3 9 11 17)

5. (3 7 9 19) și (10 12 16)

6. (5 9 13 15) și (6 8 12 16)

Suma pătratelor numerelor din fiecare submulțime este exact 500.