Am primit soluţii complete de la Aurel Ionescu şi Zoltan Szabo.
Parţiale: de la Viorel Manta, Duda Ionuţ, Cristian Bălănoiu.
Soluţia 1 (Aurel Ionescu):
1. Cum numarul cartilor este sub 100 si 12+22+32+42+52+62=91 vom avea maxim 6 copii.
Cazul 1. Daca ambele fete castiga jocuri singura varianta este 4+5=1+2+6 si 16+25=1+4+36
Cazul 2. Daca doar o fata castiga 6=1+2+3 nu verifica suma patratelor
Deci fetele castiga 4 si 5 jocuri iar cei 3 baieti 1,2 si 6 jocuri fiecare echipa cate 41 de carti deci au fost oferite 82
2.Deci fetele castiga 500=2*2*5*5*5 carti. Numarul maxim de jocuri ce poate fi castigat e 22.
Cazul 1- o fata nu se poate (500 nu e patrat perfect) - 0 solutii
Cazul 2 – doua fete avem 500=484+16=400+100
22+4=26, 20+10=30 - 0 solutii
Cazul 3- trei fete 500=400+64+36=256+144+100
20+8+6=34, 16+12+10=38=19+9+7+3 si 500=361+81+49+9 - 1 solutie (3 fete – 4 baieti)
Cazul 4 – patru fete
500=441+49+9+1=361+81+49+9=289+121+81+9=256+144+64+36=225+169+81+25
21+7+3+1=32,19+9+7+3=38,17+11+9+3=40,16+12+8+6=42=15+13+9+5- 1 solutie (4 fete – 4 baieti)
Cazul 5 - cinci fete
500=361+64+49+25+1=289+169+25+16+1=289+121+49+25+16=289+121+64+25+1=256+169+49+25+1=225+144+121+9+1=225+169+81+16+9=225+144+81+49+1=225+121+81+64+9
19+8+7+5+1=40=17+11+9+3 si 500=289+121+81+9 1 solutie (5 fete – 4 baieti)
Cazul 6 –sase fete
500=400+49+25+16+9+1=361+100+25+9+4+1=361+64+49+16+9+1=324+81+49+36+9+1=289+100+81+25+4+1=289+121+49+36+4+1=289+121+64+16+9+1=289+81+64+49+16+1=289+100+49+36+25+1=256+169+49+16+9+1=256+121+64+49+9+1=256+121+81+25+16+1=225+196+49+25+4+1=225+169+64+25+16+1=225+144+81+25+16+9=225+121+100+49+4+1=225+121+64+49+25+16=225+100+81+49+36+9=196+169+121+9+4+1=196+169+100+25+9+1=196+169+81+49+4+1=196+121+100+49+25+9=169+144+121+49+16+1=169+121+100+49+36+25=169+121+81+64+49+16
19+8+7+4+3+1=42=15+13+9+5 si 500=225+169+81+25 - 1 solutie (6 fete – 4 baieti)
17+10+7+6+5+1=46=15+11+9+8+3 si 500=225+121+81+64+9 - 1 solutie (6 fete – 5 baieti)
17+11+7+6+2+1=44=15+13+9+4+3 si 500=225+169+81+16+9 - 1 solutie (6 fete – 5 baieti)
Cazul 7 – sapte fete
500=361+64+36+25+9+4+1=361+49+36+25+16+9+4=324+121+25+16+9+4+1=324+81+49+25+16+4+1=289+100+81+16+9+4+1=289+121+36+25+16+9+4=289+100+49+36+16+9+1=289+81+64+36+25+4+1=289+81+49+36+25+16+4=256+169+36+25+9+4+1=256+144+49+25+16+9+1=256+121+49+36+25+9+4=256+100+81+49+9+4+1=256+81+64+49+25+16+9=225+196+49+16+9+4+1=225+169+49+36+16+4+1=225+121+100+25+16+9+4=225+121+64+49+36+4+1=225+100+81+49+25+16+4=225+100+64+49+36+25+1=196+169+81+25+16+9+4=196+169+64+36+25+9+1=196+144+121+25+9+4+1=196+144+81+49+25+4+1=196+100+81+64+49+9+1=169+144+121+36+25+4+1=169+144+100+49+25+9+4=169+121+81+64+36+25+4=169+100+81+64+49+36+1=144+121+100+81+49+4+1=144+121+81+64+49+25+16 - 0 solutii
Cazul 8 – opt fete
500=289+81+64+36+16+9+4+1=256+81+64+49+36+9+4+1=225+144+49+36+25+16+4+1=225+121+64+36+25+16+9+4=225+100+64+49+36+16+9+1=225+81+64+49+36+25+16+4=196+144+81+49+16+9+4+1=196+100+81+49+36+25+9+4=169+144+81+49+36+16+4+1=169+144+100+36+25+16+9+1=169+144+64+49+36+25+9+4=169+121+100+64+25+16+4+1=169+100+81+64+36+25+16+9=144+121+100+81+25+16+9+4=144+121+100+64+36+25+9+1=144+121+100+49+36+25+16+9=144+121+81+64+49+36+4+1=144+100+81+64+49+36+25+1 - 0 solutii
Cazul 9 - noua fete
500=144+121+81+64+36+25+16+9+4=144+100+81+64+49+36+16+9+1 - 0 solutii
Cazul 10 - zece fete
500=196+100+64+49+36+25+16+9+4+1 - 0 solutii
Cazul 11 nu exista suma=500 - 0 solutii.
Deci avem in total 12 solutii pentru ca evident acestea sunt valabile si inversand numarul de fete-baieti.
Soluţia 2 (Zoltan Szabo):
1. Numărul total al cărților nu depășește 100, dar este un număr par, pentru că fetele și băieții au primit un număr egal de cărți. Aceste numere se obțin ca sumă de numere distincte ale numerelor 1,4,9,16,25,36,49. Niciuna din grupe nu putea obține mai mult de 50 cărți. Știm că sunt exact două fete, deci ne putem folosi de această informație, încercând să găsim o combinație cu sumă identică din celelalte pătrate.
49+1=50=9+16+25
36+9=45=16+25+4
36+4=40=nu există
36+1=37=nu există
25+16=41=36+4+1
25+9=34=nu există
25+4=29=nu există
25+1=26=nu există
16+9=25=nu există
16+4=20=nu există
16+1=17=nu există
9+4=13=nu există
9+1=10=nu există
4+1=5=nu există
Pentru pătratele numerelor avem 3 variante din care doar o variantă respectă condiția sumei numerelor neridicate la pătrat.
49+1=50=9+16+25 7+1=8 <> 12=3+4+5
36+9=45=16+25+4 6+3=9 <> 11=4+5+2
25+16=41=36+4+1 5+4=9 = 9=6+2+1
În consecință la premiere au fost oferite 41+41=82 de cărți.
2. Pentru a găsi toate soluțiile în care s-au oferit exact 1000 de cărți am scris un program C++ și am găsit 6 perechi de mulțimi de numere ce furnizează 12 soluții distincte, ținând cont, că premiile se pot oferi atât "băieților și fetelor" cât și "fetelor și băieților".
1. (1 2 6 7 11 17) și (3 4 9 13 15)
2. (1 3 4 7 8 19 ) și (5 9 13 15)
3. (1 5 6 7 10 17) și (3 8 9 11 15)
4. (1 5 7 8 19) și (3 9 11 17)
5. (3 7 9 19) și (10 12 16)
6. (5 9 13 15) și (6 8 12 16)
Suma pătratelor numerelor din fiecare submulțime este exact 500.