C. Pitagora nD

Adaptăm teorema lui Pitagora pentru un dreptunghi:

Într-un dreptunghi cu baza a, înălțimea b și diagonala  d, este adevărată relația d²=a²+b².

Această proprietate se poate extinde și pentru spațiul n-dimensional. De exemplu dreptunghiul tridimensional este paralelipipedul dreptunghic cu cele trei muchii perpendiculare a, b și c, iar diagonala d a dreptunghiului tridimensional se calculează cu formula d²=a²+b²+c².

În spațiul n-dimensional într-un dreptunghi n-dimensional vor exista n muchii perpendiculare două câte două.

Între muchiile notate cu a₁, a₂,..., a_n și diagonala d există relația d²=a₁²+ a₂²+...+ a_n².

Dorim să construim un dreptunghi n-dimensional în care toate muchiile și diagonala sunt numere naturale nenule.

Exemple:

1. spațiul 2D: muchiile (3,4) și diagonala 5.

2. spațiul 3D: muchiile (3,4,12) și diagonala 13.

3. spațiul 4D: muchiile (1,1,1,1) și diagonala 2.

Se cere să se găsească lungimea minimă a diagonalei pentru un dreptunghi 2021-dimensional, în care toate muchiile și diagonala sunt numere naturale.   

Sursă: problemă originală (Zoltan Szabo)

 

C. Pitagora nD

We adapt Pythagoras' theorem for a rectangle:

In a rectangle with base a, height b and diagonal d, the relation d² = a² + b² is true.

This property can also be extended to n-dimensional space. For example, the three-dimensional rectangle is the rectangular parallelepiped with the three perpendicular edges a, b and c, and the diagonal d of the three-dimensional rectangle is calculated with the formula d² = a² + b² + c².

In n-dimensional space in an n-dimensional rectangle there will be n perpendicular edges two by two.

Between the edges denoted by a₁, a₂, ..., a_n and the diagonal d there is the relation d₂ = a₁² + a₂² + ... + a_n².

We want to construct an n-dimensional rectangle in which all edges and diagonals are nonzero natural numbers.

Example:

1. 2D space: edges (3,4) and diagonal 5.

2. 3D space: edges (3,4,12) and diagonal 13.

3. 4D space: edges (1,1,1,1) and diagonal 2.

It is required to find the minimum length of the diagonal for a 2021-dimensional rectangle, in which all edges and diagonal are natural numbers.

Source: original puzzle (Zoltan Szabo)