Motto: Omul care are memorie sau inteligenţă n-are cum să fie fericit. (Bertrand Russel)

B. Prăjitura

Avem o prăjitură glazurată ţinută la rece (care coagulează aproape instantaneu).

Tăiem din ea o bucată (de forma unui sector de cerc, cu vârful în centru), o întoarcem invers şi o punem la loc. Prăjitura redevine rotundă, iar mediul rece lipeşte imediat tăietura. Singura problemă este că glazura bucăţii tăiate se va afla dedesubtul prăjiturii, nu deasupra.

          Facem aceiaşi operaţie cu următoarea felie - în sensul acelor de ceasornic. Adică: tăiem o bucată de aceeaşi formă şi mărime cu bucata anterioară, una din tăieturi fiind exact peste o tăietură anterioara. Scoatem şi această felie, o întoarcem şi o punem la loc.

          Pentru anumite unghiuri la centru ale feliilor tăiate, este clar ce se întâmplă. Pentru felii care au la centru un unghi de 90o, după 8 operaţii de tăiere, întoarcere şi relipire a feliilor, se obţine prăjitura iniţială, cu glazura deasupra.

Dacă unghiul este de 180o, acest rezultat se obţine după numai 4 operaţii.

          1. Câte operaţii sunt necesare dacă fiecare felie are un unghi la centru de 181o ?  (5 puncte)
          2. Ce se întâmplă dacă unghiul la centru este de 1 radian? (5 puncte)

Sursă: Peter Winkler - Mathematical Mindbenders

Vezi comentarii
Logheaza-te in site pentru a trimite solutii si comentarii
aatanasiu

Pentru clarirtate, dau si enuntul original (engleza):

A round cake has icing on the top but not the bottom. Cut out a piece in the usual shape (sector of a circle with vertex at the center), pull it out, turn it upside down, and replace it in the cake to restore roundness.
Do the same with the next piece; i.e., take a second piece with the same vertex angle, but rotated counterclockwise from the first one so that one boundary edge coincides with a boundary edge of the first piece. Remove it, flip it, and replace it. Keep doing this in a counterclockwise direction.

For some central angles what happens is clear. For a 90 degree angle it takes eight moves for all the icing to return to the top. If the angle is 180 degrees, it takes four moves to return to the initial state. Suppose the central angle is 181 degrees. When does all the icing first return to the top?

Also interesting: What happens if the central angle of each piece is 1 radian?