C. Pătrat magic special

Pătratele magice au o istorie foarte veche. Popoarele i-au atribuit puteri magice, au fost consacrate zeilor, sau au stat la baza unor opere de arte sau curiozități matematice. Pătratul magic se regăsește în cultura chinezilor, grecilor, arabilor, indienilor sau a egiptenilor. În cultura europeană pictorul Albrecht Dürer a fost cel care ne-a lăsat ca moștenire un pătrat magic de ordin 4 în gravura Melancolia I, realizată în anul 1514.

Un pătrat magic de ordinul n este o aranjare de nxn numere într-un pătrat în așa fel încât toate numerele din aceeași coloană, rând sau diagonală să dea adunate aceeași constantă. Un pătrat magic normal conține fiecare număr de la 1 la nxn câte o singură dată.

Construiți un pătrat magic special de ordinul 5 care să respecte următoarele cerințe:

  • elemente sunt numere întregi și distincte (nu neapărat consecutive);
  • pe orice linie, coloană sau diagonală produsul elementelor să fie aceeași constantă;
  • constanta (i.e., produsul) este egală cu 15120.

Un pătrat magic special astfel definit diferă de un pătrat magic multiplicativ prin faptul că elementele nu sunt neapărat pozitive.

Suplimentar (pentru 3 puncte), găsiți fie un părtrat magic special cu constanta mai mică decât 15120, fie cu maximul valorii absolute al elementelor mai mic decât 27.

Exemplu: un pătrat magic special (care este de fapt un pătrat magic multiplicativ) cu constanta 362880 și maximul valorii absolute al elementelor 54.

1

10

21

48

36

42

32

9

2

15

18

3

30

28

8

20

7

16

27

6

24

54

4

5

14

 

Sursa: problema originală (Zoltan Szabo)

Mai multe informații: https://ro.wikipedia.org/wiki/P%C4%83trat_magic, https://ro.wikipedia.org/wiki/P%C4%83tratul_latin,

https://mathworld.wolfram.com/MultiplicationMagicSquare.html

 

C. Special magic square

The Magic squares have a very old history. People attributed magical powers to them, they were consecrated to the gods, or they were the basis of works of art or mathematical curiosities. The magic square is found in the culture of the Chinese, Greeks, Arabs, Indians, and Egyptians. In the European culture, the painter Albrecht Dürer was the one who left us as an inheritance a magic square of order 4 in the engraving Melancholia I, realized in 1514.

A magic square of order n is an arrangement of nxn numbers in a square so that all the numbers in the same column, row, or diagonal give the same constant. A normal magic square contains each number from 1 to nxn only once.

Build a special magic square of order 5 that meets the following requirements:

  • all elements are integers and distinct  (not necessarily consecutive);
  • on any line, column, or diagonal the product of the elements is be the same constant;
  • the constant (i.e., the product) equals to 15120.

A special magic square differs from a multiplication magic square by the fact that the elements are not necessarily positive.

Additionally (for 3 points), either find a special magic square with the constant less than 15120, or with the maximum absolute value of the elements less than 27.

Example: a special magic square (which is in fact a multiplication magic square) with the constant 362880 and the maximum absolute value of the elements 54.

1

10

21

48

36

42

32

9

2

15

18

3

30

28

8

20

7

16

27

6

24

54

4

5

14

 

Source: original puzzle (Zoltan Szabo)

More info:  https://ro.wikipedia.org/wiki/P%C4%83trat_magic, https://ro.wikipedia.org/wiki/P%C4%83tratul_latin,

https://mathworld.wolfram.com/MultiplicationMagicSquare.html

 

Vezi comentarii
Logheaza-te in site pentru a trimite solutii si comentarii
vioman99

Din cerinte am inteles ca

1,Nu avem de a face cu un patrat magic normal (adica numere aflate in plaja 1 si nxn). 

2 intre numere putem avea unele cu valori negatie

Am inteles corect?


ruxandra

Da, intelegerea dvs. este corecta.


trofin

Doresc o precizare pentru problema suplimentară : ordinul pătratului magic special este tot 5 sau poate să fie și mai mic ? 


bjh

Normal, pentru ca sub 5x5 patratele magice produs au constanta minima mai mica decit 15120 fara a fi speciale (i.e. numai cu numere naturale). Pentru 4x4 minimumul este 5040. La 3x3, evident, si mai mic (216).


ruxandra

Da, si pentru bonus se considera 5x5.