B. Polinoame cu rădăcini intregi

Plecăm de la multimea S = {0, 2020}.

Căutam numere întregi care sunt rădăcini ale unor polinoame din S[X] (polinoame a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n, in care toți coeficientii sunt în S) şi le introducem în S. Procedeul se reia recursiv cât timp este posibil şi fie S mulţimea finală obţinută. Să se arate că 2 este în S.

Suplimentar (pentru 1 punct) sa se arate ca 3 nu este în S.

Sursa: problema originală (Adrian Atanasiu), inspirata dintr-o problemă dată la Olimpiada de matematica a țărilor Baltice, 1996.

 

B. Polynomials with integer roots

We start with the set S = {0, 2020}.

We search for integers that are roots of some polynomials in S[X] (polynomials a_0X ^ n + a_1X ^ {n-1} + ... + a_n, where all coefficients are in S), and we enter them in S. The process continues recursively as long as possible, and S be the final set obtained. Show that 2 is in S.

Additionally (for 1 point) to show that 3 is not in S.

Source: original puzzle (Adrian Atanasiu), inspired by a problem at Mathematics Olympiad of Baltic Countries, 1996.

Vezi comentarii
Logheaza-te in site pentru a trimite solutii si comentarii
trofin

Elementele mulțimii S se pot folosi în mod repetat ?


ruxandra

Da.


trofin

Elementele mulțimii S , 0 și respectiv 2020 , sunt minimul  și respectiv maximum valorilor pe care le pot avea elementele care se vor adăuga ulterior ? 


aatanasiu

Nu. S este multime, nu interval. 0 si 2020 sunt elementele initiale ale acestei multimi, care se imbogateste treptat dupa regula data in enunt.