B. Bilete de metrou

Biletul lui Petru are o proprietate interesanta: suma primelor 3 cifre este egala cu suma ultimelor 3 cifre. Petru isi aduce aminte de o problema interesanta de programare din facultate: sa listeze toate numerele de maxim 6 cifre cu aceasta proprietate (un numar este de fapt un numar de serie a unui tichet, care poate avea 0 pe primele pozitii). Isi aduce aminte ca suma tuturor acestor numere este divizibila cu 13. Se gandeste insa la o demonstratie matematica care sa arate asta (fara a face efectiv un program care sa le insumeze). Care este demonstratia?

Sursa: Math puzzles, Utah (cu mentionarea Vlad Mitlin)

 

B. Underground tickets

Petru's ticket has an interesting property: the sum of the first 3 digits is equal to the sum of the last 3 digits. Peter remembers an interesting programming problem in college: list all maximum six-digit numbers with this property (a number is in fact a ticket number, so it can have 0 as the first digits). He remembers that the sum of all these numbers is divisible by 13. He thinks of a mathematical proof that shows this (without actually making a program to sum them up). What is the proof?

Source: Math puzzles, Utah (mentioning Vlad Mitlin)

Vezi comentarii
Logheaza-te in site pentru a trimite solutii si comentarii
vioman99

Nu imi e prea clar textul pb.

Cifra 0 poate fi utilizata?

Pt ca daca da, exista combinatii (ex 1+2+9=0+4+8) a caror suma este 12.

Cifrele (cele 6) sunt distincte intre ele?

Proprietatea ca suma celor 6 numere e divizibila cu 13 nu e obligatorie pt combinatii de nr care respecta a+b+c = d+e+f

(adica n=a+b+c+d+e+f e multiplu de 13) ex 2+5+7=1+4+9 si suma lor e 28?

Rog sa ma lamuriti.

Multumesc!


ruxandra

Nu suma cifrelor este divizibila cu 13, ci suma tuturor numerelor de 6 cifre care au proprietatea din problema.


vioman99

Am inteles textul dar nu am primit raspuns la intrebarile:

1)  se poate utiliza cifra 0 (si daca da, n=840048  face parte din numerele cu proprietatea ceruta?)

2) cifrele fiecarui nr de sunt distincte (de tipul abcdef) sau o cifra poate apare de mai multe ori (ex n =101 101)   

Multumesc


ruxandra

Cifra 0 poate sa apara, inclusiv pe primele pozitii ale numarului, am modificat deci enuntul problemei astfel incat sa fie numere de maxim 6 cifre. Idea este ca numarul reprezinta un numar de serie al unui bilet, deci poate sa inceapa cu orice cifra, inclusiv 0. Da, cifrele se pot repeta.