Motto: Să trăieşti pe pământ poate fi scump... dar include o călătorie gratuită în jurul soarelui în fiecare an (Ashleigh Brilliant)

B. Călători

Pe o câmpie sunt patru drumuri în linie dreaptă.

Nu sunt două drumuri paralele şi nici o intersecţie în care să se întâlnească 3 drumnuri.

Pe fiecare drum merge câte un călător.

Toţi se deplasează cu viteză constantă (dar nu neapărat aceeaşi).

Se ştie doi din cei patru călători s-au întâlnit fiecare cu toţi ceilalţi trei.

Să se demonstreze că ceilalţi doi s-au întâlnit şi ei unul cu altul. (10 puncte)

Generalizare:

Avem N drumuri şi N călători (căte unul pe fiecare drum), şi sunt doi călători care s-au întâlnit fiecare cu ceilalţi N-1.

Să se arate că atunci ceilalţi N-2 călători s-au întâlmit fiecare cu fiecare.

(dacă există doi călatotri care s-au întâlnit cu fiecare, atunci fiecare s-a întâlnit cu fiecare). (5 puncte)

 

Sursă: Perplexus.info

Vezi comentarii
Logheaza-te in site pentru a trimite solutii si comentarii
aatanasiu

Walking the Roads (Posted on 2004-05-01)  

Four roads on a plane, each a straight line, are in general position so that no two are parallel and no three pass through the same point.

Along each road walks a traveler at a constant speed.

Their speeds, however, may not be the same.

It's known that two of the travelers have met each of the other three already.

Prove that the other two have also met each other.

 

The problem can be generalized to an arbitrary number of roads, which makes it even more striking:

Assume that two of the travelers met and have each met all the remaining fellows.

Prove that, if this is the case, the remaining ones all have met each other

(ie, if two travelers have met everyone, then everyone has met everyone).